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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 37, Issue 1, pp 333–346 | Cite as

Sostituzioni legate ad una curva di diramazione che possa degenerare in parti doppie

  • Cesarina Marchionna Tibiletti
Article

Sunto

Si determinano alcuni vincoli per le sostituzioni operanti sulle determinazioni di un piano multiplo avente una data curva di diramazione, vincoli che per ampie classi di piani multipli li determinano univocamente in funzione della curva di diramazione. Si intende cosi portare un contributo al problema dell'identità birazionale dei piani multipli con data curva di diramazione.

Si considerano dapprima curve di diramazione ϕ che, variando in un sistema continuo, possano degenerare in una forma limite composta da parti doppie, con comportamento ben determinato per i limiti delle singolarità della curva variabile (tali ipotesi sono effettivamente verificate per un'ampia classe di curve di diramazione).

Il risultato viene poi esteso al caso di una curva di diramazione variabileφ (soddisfacente ad ipotesi simili alle precedenti) che sia spezzata in due parti con una di queste corrispondente, non a semplici scambi, ma a sostituzioni su più di due determinazioni

Nella ricerca vengono utilizzate proprietà delle trecce algebriche.

Rereneces

  1. (1).
    Cfr.B. Segre,Sulla caratterizzazione delle curve di diramazione dei piani multipli generali, « Mem. Acc. d'Italia », Vol. I, (1930) ed.O. Chisini,Sulla curva di diramazione dei piani multipli, « Rend. Acc. Lincei », serie 6a,23 (1936), pagg. 22–27.Google Scholar
  2. (2).
    Cfr.F. Enriques,Sulla costruzione delle funzioni algebriche di due variabili possedenti una data curva di diramazione, « Annali di Matem. », serie 4a,1 (1924), pagg. 185–198, Ricordiamo che un punto singolareQ (punto doppio, cuspide, ecc.) si dice « essenziale » per una curva ϕ, di diramazione per un piano multiplo, quando, muovendosi sulla ϕ stessa, il puntoQ risulta limite di due o più punti della curva ϕ ai quali sono legate sostituzioni diverse sulle determinazioni di un piano multiplo.CrossRefzbMATHGoogle Scholar
  3. (3).
    Questa dicitura (nello stesso significato) è già stata usata inO. Chisini,Sulla identità birazionale delle funzioni algebriche di due variabili dotate di una medesima curva di diramazione, « Rend. Ist. Lombardo »,77 (1943–44), pagg. 339–356, n. 1.Google Scholar
  4. (4).
    Perchè le curve ϕ variabili nel sistema continuo tendano al suddetto limite\(2\bar \varphi\) con le condizioni sopra imposte circa i limiti delle relative singolarità, sarà necessario che le curve inviluppo, limiti delle curve inviluppo delle stesse ϕ variabili, si comportino pure esse in modo opportuno, e ciò secondo l'ordine di idee svolto daO. Chisini in:Sulla riducibilità dell'equazione tangenziale di una superficie dotata di curva doppia, « Rend. Acc. Lincei », serie 5a,26 (1917), pagg. 543–548, daJ. G. Semple,On multiple curves and surfaces as limits, « Proceedings of the Cambridge Philosophical Soc. »,32 (1936), pagg. 373–377, e più ampiamente daB. Segre in:On limits of algebraic varieties in particular of their intersections and tangential forms, « Proceedings of the London Mathematical Soc. »,47 (1942), pagg. 351–403.zbMATHGoogle Scholar
  5. (5).
    Cfr. la nota (1).Google Scholar
  6. (6).
    Cfr. per esempio,F. Enriques,Sulla costruzione, ecc., l. c. edO. Chisini,Un teorema d'esistenza dei piani multipli, « Rend. Acc. Lincei », serie 6a,19 (1934), pagg. 688–693 e 766–772;Sulla curva di diramazione dei piani multipli, l. c.;Un più generale teorema d'esistenza dei piani multipli, « Rend. Acc. Lincei », serie 6a,27 (1938), pagg. 535–537;Altre curve di diramazione dei piani n-pli, « Rend. Acc. Lincei », serie 6a,29, pagg. 460–466;Sulla identità birazionale, ecc., l. c.Google Scholar
  7. (7).
    Cfr.O. Chisini,Forme canoniche per il fascio caratteristico rappresentativo di una curva algebrica piana, « Rend. Ist. Lombardo »,70 (1937), pagg. 49–61. Ricordiamo, in particolare, che per costruire la treccia della curva\(\bar \varphi\) in esame si fissa prima un sistema di cappi λ sul pianoπ x (della variabile complessax) intorno ai punti critici della funzioney(x) definita dalla\(\bar \varphi\) stessa, a partire — per esempio — dax=0 e si ordinano i punti-D (già sopra nominati) su πy (per il valorex=0). Più precisamente, di solito, si congiungono i punti-D successivamente in un certo ordine con linee che non avvolgono alcun punto-D e si distende poi la poligonale così ottenuta (mediante un omeomorfismo) su una retta, per esempio l'asse reale.zbMATHGoogle Scholar
  8. (10).
    Contenuto nel n. 3 della nota:O. Chisini,Sulla identità birazionale, ecc., l. c.Google Scholar
  9. (11).
    Cfr.F. Enriques,Sulla costruzione, ecc., l. c.Google Scholar
  10. (12).
    Cfr.F. Enriques,Sulla costruzione, ecc., l. c.Google Scholar
  11. (13).
    Cfr.O. Chisini,Sugli incroci delle curve di diramazione per una funzione algebrica di due variabili, « Rend. Acc. Lincei »,29 (1920), pagg. 127–130.zbMATHGoogle Scholar
  12. (15).
    Cfr.O. Chisini,Sulla costruzione a priori delle trecce caratteristiche, « Ann. di Matem. pura e applicata », serie 4a,33 (1952), pagg. 353–366 eC. Tibiletti,Costruzioni a priori della sestica con nove cuspidi, « Rend. 1st. Lomb. »,85 (1952), pagg. 207–220.zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  13. (16).
    Cfr.F. Enriques,Sulla costruzione, ecc., l. c.Google Scholar
  14. (17).
    Cfr., per esempio,O. Chisini,Un teorema d'esistenza, ecc., l. c., pag. 688, n. 2;M. Dedò,Algebra delle trecce caratteristiche: relazioni fondamentali e loro applicazione, « Rend. Ist. Lomb. »,83 (1950), pagg. 227–258, n. 9 e segg.;C. Tibiletti,Piani tripli e piani quadrupli con la stessa curva di diramazione, « Rend. Acc. Lincei », serie VIII,12 (1952), pagg. 537–543, n. 2.Google Scholar
  15. (21).
    Notiamo che esistono effettivamente piani quadrupli con curva di diramazione che soddisfa ai requisiti del teorema in esame: per esempio alcuni piani quadrupli diramati dalla sestica con 9 cuspidi su una conica (che degenera appunto in 3 rette doppie); cfr.C. Tibiletti,Piani tripli e piani quadrupli, ecc., l. c., n. 2.Google Scholar
  16. (22).
    Cfr., per esempio,C. Tibiletti,Piani tripli e piani quadrupli, ecc., l. c., n. 2 e n. 6, ove si hanno casi di piani quadrupli per cui in un punto limite di terne di cuspidi non accade quanto si richiede nel teorema 6.Google Scholar
  17. (25).
    Cfr.E. Marchionna,Sull'identità birazionale delle ipersuperficie multiple diramate da una medesima varietà, « Ann. di Matem. pura e applicata », (n. 17), serie 4a,37 (1954), pagg. 265–290.zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  18. (27).
    Infatti si hanno curve di diramazione del tipo in esame per cui il considerare o no essenziali certi nodi dà risultati diversi: per esempio è questo il caso della sestica con sei cuspidi e quattro nodi. Cfr.B. Segre,Esistenza di sistemi continui distinti di curve piane algebriche con dati numeri plueckeriani, « Rend. Acc. Lincei », serie 6a,10 (1929), pagg. 557–560, n. 6;B. Segre,Sulla caratterizzazione delle curve di diramazione, ecc., l. c., n. 9;C. Tibiletti,Piani tripli e piani quadrupli, ecc., l. c., n. 6.zbMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B. V. 1954

Authors and Affiliations

  • Cesarina Marchionna Tibiletti
    • 1
  1. 1.Milano

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