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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 37, Issue 1, pp 265–290 | Cite as

Sull'identità birazionale delle ipersuperficie multiple diramate da una medesima varietà

  • Ermanno Marchionna
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Si dimostra che: data in Sr-1 un'ipersuperficie generale F(x1, x2, …, xr-1)=0 e su di essa una varietà D che sia di diramazione per una funzione u(x1, x2, …, xr-1) — definita da un'ipersuperficie generale Aμ(x1, x2, …, xr-1, u) =0 d'ordine μ >4 (di Sr) — qualunque funzione u' dei punti di F diramata dalla D è birazionalmente identica alla u. La dimostrazione viene ricondotta al caso delle curve multiple, in virtù di un criterio d'identità qui appositamente stabilito, ed è basata sulla costruzione della Riemanniana di una curva multipla generale.

Rereneces

  1. (1).
    E. Marchionna,Curve e varietà di diramazione per superficie ed ipersuperficie multiple generali, « Rend. Ist. Lombardo », Vol. LXXXV (1952).Google Scholar
  2. (2).
    L'ipotesi μ>4 è necessaria. È noto infatti che la curva di diramazione di un piano quadruplo generale è di diramazione anche per un piano triplo (risolvente del piano quadruplo); cfr.B. Segre,Sulla caratterizzazione delle curve di diramazione dei piani multipli generali, « Memorie Acc. d'Italia », (1930), (paragrafo 9); cfr. ancheC. Tibiletti,Piani tripli e piani quadrupli con la stessa curva di diramazione, « Rend. Acc. Lincei », serie 8, Vol. 12 (1952).Google Scholar
  3. (4).
    Cfr.F. Severi,Le varietà multiple diramate ed il loro teorema d'esistenza, « Memorias de Matematica del Instituto Jorge Juan », Madrid (1946), (paragrafo 2). La forma originale del Teorema diPicard cui si allude nel testo trovasi in:Picard etSimart,Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes, Paris, Gauthier-Villars (1897), pag. 86.Google Scholar
  4. (5).
    Per le suesposte considerazioni sul gruppo di monodromia di una funzione di più variabili, cfr. il paragrafo 2 della nota diSeveri citata in (4).Google Scholar
  5. (6).
    Lo stesso criterio, limitato ai soli piani multipli (e dimostrato in base alle condizioni d'invarianza diEnriques) si trova in :C. F. Manara,Una condizione sufficiente per l'identità birazionale di due piani multipli, « Rend. Ist. Lombardo », Vol. LXXXV, (1952). Un teorema analogo (per i soli spazi multipli e sotto ipotesi leggermente più restrittive) si trova inO. Chisini,Sulla identità di due funzioni algebriche di più variabili dotate di una medesima varietà di diramazione, « Rend. Ist. Lombardo », Vol. LXXX (1947).Google Scholar
  6. (7).
    Per quest'ultima affermazione cfr. il paragrafo 3 della nota diSeveri citata in (4).Google Scholar
  7. (10).
    Osserviamo innanzitutto che un qualsiasi cammino chiuso γ* tracciato suF e non avvolgente la curva di diramazioneD* della funzioneu =u(xyz) — concepita suF — non è diramante per tale funzione. Infatti, poichè la nostraF è una superficie generale (ed in particolare regolare), γ* è riducibile a zero inF-D (si ricordi per questo che il numero dei cicli lineari indipendenti di una superficie d'irregolaritàq è uguale a 2q. Cfr. ad es.,S. Lefschetz,L'Analysis situs et la Géométrie algébrique, Paris, Gauthier-Villars, (1924), pag. 35). La cosa poteva essere provata anche in altro modo osservando che il cammino γ* — considerato nello spazioS 3 — non avvolge nemmeno la superficie di diramazione Δ dello spazio multiplou=u(x, y, z), e perciò esso non è diramante per tale funzione (neppure se considerato sopraF). Ciò posto veniamo alla verifica che c'interessa. Poichè al cappio ϕ è legato uno scambio sui primi indici dellew ik ed una sostituzioneS sui secondi indici, al cammino ϕ2 — cioè al cappio ϕ percorso due volte — competono come sostituzioni : sui primi indici l'identità, sui secondi indici laS 2. Il primo di questi fatti mostra che in corrispondenza al cammino ϕ2 glim valori diz(0,y) inO ritornano in sè, cioè glim puntiO 1*,O 2*, …,O m* della curvaf che vengono proiettati inO daZ ritornano ciascuno in sè : ciò significa che a ϕ2 corrispondono suf (e quindi suF)m cammini chiusi. Poichè ϕ2 non avvolge nessun puntoD j della curvaD, glim cammini predetti non avvolgonoD* e quindi non sono diramanti per la funzioneu=u(x, y, z) dei punti diF, e tanto meno per la funzioneu=u(0,y, z) dei punti della sezionef. Si conclude che ϕ2 non dà diramazione perw(0,y), cioè cheS 2=1. Ciò significa appunto che la sostituzioneS è un insieme di scambi (fra gli elementi di due linee della tabella (3)).Google Scholar
  8. (12).
    Cfr.O. Chisini,Sulla curva di diramazione dei piani multipli, « Rend. Acc. Lincei », Vol. XXIII, serie 6a, fasc. 1, (1936). Vale la pena di ricordare il significato cheChisini attribuisce alla frase « ad una componentef i della\(\bar \Phi\) è legato un unico scambio (i, h) ». A tale scopo si consideri la retta multiplaz=z(ky, y) ottenuta tagliando il piano multiploz=z(xy) con un piano generico del fascioxky. I punti di diramazione Φr di tale funzione sono le intersezioni della curva di diramazione ΦGoogle Scholar
  9. (16).
    Cfr. la nota (10) del n. 6.Google Scholar
  10. (21).
    Sull'uso di questa condizione cfr. ad es.M. Dedó,Algebra delle trecce caratteristiche: relazioni fondamentali e loro applicazione, « Rend. Ist. Lombardo », Vol. LXXXIII, (1950), (paragrafo 9), oppureC. Tibiletti, l. c. in (2), pag. 538. La suddetta condizione traduce in modo concreto la nota condizione di invarianza d'Enriques cui deve soddisfare una curva piana ψ(x, y)=0 per essere di diramazione per qualche piano multiplo (V. Enriques,Sulla costruzione delle funzioni algebriche di due variabili possedenti una data curva di diramazione, « Ann. di Matem. pura ed applicata », serie IV, tomo I, (1923), (paragrafo II), pagg. 187–188). Conviene anche notare che la condizione di invarianza d'Enriques e la sua applicazione ai sistemi continui hanno carattere strettamente topologico, sicchè era ampiamente presumibile che esse si conservino anche nel caso in cui la curva ψ abbia singolarità più complesse dei nodi e delle cuspidi che solo consideraEnriques (in particolare una componente multipla). L'importante è che rimanga costante la natura dei punti critici della curva (punti singolari e punti di contatto con tangenti parallele all'assey) i quali danno il sistema di cappi generatori della treccia algebrica di ψ.Google Scholar
  11. (23).
    Per la proposizione 3) del testo ed in parte anche per la successiva proposizione 4), cfr.O. Chisini,Sull'identità birazionale delle funzioni algebriche di due variabili dotate di una medesima curva di diramazione, « Rend. Ist. Lombardo », Vol. LXXVII, (1943–44) (più precisamente cfr. l'osservazione 1 e il lemma 2 del paragrafo 3). Per la sola proposizione 3, cfr. ancheC. Marchionna Tibiletti,Sostituzioni legate ad una curva di diramazione che possa degenerare in parti doppie, (n. 10), « Annali di Matematica », Vol. 37 (1954).Google Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B. V. 1954

Authors and Affiliations

  • Ermanno Marchionna
    • 1
  1. 1.Milano

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