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Covarianti birazionali di sistemi lineari di curve sopra una superficie algebrica

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Sunto

Si determina l'equivalenza funzionale di una certa curva proiettivamente legata al sistema delle sezioni iperpiane di una superficie algebrica dello Sr. Vengono poi studiate talune estensioni a varietà superiori ed alcune applicazioni alla geometria sopra una superficie algebrica.

Rereneces

  1. (1)

    B. Segre,On the inflexional curve of an algebraic surface in S 4, « Quart. Journ. of Math. », (2), 2, (1951) ed anche:Alcune questioni algebrico-differenziali, « Portugaliae Math. », v. 10, 1, (1951).

  2. (2)

    A. Andreotti,Sopra le superficie algebriche che posseggono trasformazioni birazionali in sè, « Rend. di Roma », s. V, v. IX, (1950).

  3. (3)

    Per le proprietà dei successivi intorni di un punto di una superficie, che ci occorrono nel seguito, cfr.Fubini-Čech,Geometria Proiettiva Differenziale, Bologna, Zanichelli, (1927), t. II, Appendice III diA. Terracini, dove si trova anche un'ampia bibliografia sull'argomento.

  4. (4)

    G. Fubini,Nuove ricerche di geometria proiettivo-differenziale, « Rend. della Acc. dei Lincei », s. 5, vol. 20, (1920) eI differenziali controvarianti, ibidem.

  5. (5)

    M. De Franchis,Sul gruppo Jacobiano di una serie lineare, « Rend. Circ. Mat. Palermo », t. 34, (1912).

  6. (8)

    Cfr.F. Severi,La serie canonica e la teoria delle serie principali di gruppi di punti sopra una superficie algebrica, « Comm. Math. Helvetici », v. 4, (1932).

  7. (9)

    M. De Franchis,Sulle superficie algebriche, le quali contengono un fascio irrazionale di curve, « Rend. Circ. Mat. Palermo », t. XX, (1905).

  8. (10)

    F. Severi, loc. cit. in (8).

  9. (11)

    Cfr.B. Segre,Determinazione geometrico-funzionale di gruppi di punti covarianti …, « Rend. Lincei », v. XVIII, s. 6, (1933) eF. Severi,Serie, sistemi di equivalenza …, Roma, Ed. Cremonese, (1942).

  10. (13)

    L'ipotesi che siap (1) >1 esclude che la superficieF possegga infinite trasformazioni birazionali in sè. Cfr.A. Andreotti, loc. cit. in (2).

  11. (14)

    Cfr.G. Dantoni,Superficie algebriche con infinite involuzioni razionali ed involuzioni2r con r >1, « Comm. Pont. Ac. Scien. », 9, t. 9, (1945), p. 182 ed ancheA Franchetta,Sui modelli pluricanonici delle superficie algebriche, « Rend. di Mat. di Roma », vol. IX, (1950).

  12. (15)

    A. Hurwitz,Ueber algebraische Gebilde mit eindeutige Transformationen in sich, « Math. Ann. », Bd. 41, (1883), pp. 402–442.

  13. (17)

    Questa disuguaglianza, ove si riuscisse a dimostrare che le nostre ipotesi sono soddisfatte su un conveniente modello pluricanonico della superficie, sarebbe notevolmente migliore di quella data daAndreotti, loc. cit. (2).

  14. (18)

    A. Hurwitz,Ueber diejenigen algebraischen Gebilde welche eindeutige Transformationen in sich zulassen, « Math. Ann. », Bd. 32, (1888), pp. 290–308.

  15. (19)

    A. Comessatti,Sulle trasformazioni birazionali delle curve algebriche interpretate come rotazioni del piano iperbolico, « Ann. di Mat. », (1930), s. IV, t. 8, p. 1.

  16. (20)

    Seq=2 la superficieF è ellittica o iperellittica, ovvero possiede un fascio di genere 2 (Cfr.A. Andreotti,Recherches sur les surfaces algébriques irrégulières, « Mem. dell'Acc. Reale del Belgio », t. XXVII, f. 7, 1952). Nei primi due casi la superficie ammette infinite t. b. in sè, nell'ultimo caso, se le curve del fascio sono di genere maggiore di uno, si può applicare direttamente la formula diHurwitz, sopra ricordata.

  17. (21)

    G. Castelnuovo,Sugli integrali semplici appartenenti ad una superficie irregolare, « R. Acc. Lincei », 21 Maggio, 4 e 18 Giugno 1905, oppure:Memorie scelte, pag. 473 e segg., (Bologna, Zanichelli, 1937).

  18. (22)

    All'ipotesi cheV q non possegga integrali riducibili si potrebbe sostituire la condizione, probabilmente molto meno restrittiva, ma di non facile verifica, che almeno una componente dellaJ q sia di grado virtuale positivo (cfr.Severi, loc. cit. in (8)).

  19. (23)

    Con questa definizione, la curvaJ 2,1 si trova già considerata inA. Andreotti,Recherches sur les surfaces irrégulières, « Mem. Ac. del Belgio », t. XXVII, f. 4, (1952).

  20. (24)

    Cfr.A. Andreotti, loc. cit. nella nota precedente.

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Gherardelli, F. Covarianti birazionali di sistemi lineari di curve sopra una superficie algebrica. Annali di Matematica 37, 157–174 (1954) doi:10.1007/BF02415098

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