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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 37, Issue 1, pp 37–59 | Cite as

Sull'equazione di T. Uno ed R. Yokomi

  • G. Sansone
  • R. Conti
Article

Sunto

Studio dell'equazione\(\frac{{dy}}{{dx}} = - \frac{{xy}}{{y^2 - (x + 1)[(x - 1)^2 + \lambda ]}}\) con λ parametro reale, variabile in (−∞, ∞).

Summary

The equation
$$\frac{{dy}}{{dx}} = - \frac{{ - xy}}{{y^2 - (x + 1)[(x - 1)^2 + \lambda ]}}$$
is studied for every real value of the parameter λ.

Rereneces

  1. (1).
    Si veda ad es.A. A. Andronow - C. E. Chaikin,Theory of oscillations, edited byS. Lefschetz, Princeton Univ. Press, 1949, pp. 217 e segg.Google Scholar
  2. (2).
    Citeremo tuttavia, come aventi qualche attinenza con questo argomento, i seguenti lavori:G. F. D. Duff,Limit cycles of systems of the second order, « Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. », 37 (1950), pp. 749–752;E. Leontovic,Sulla generazione di cicli limite da separatrici (russo), « Dokl. Ak. Nauk S.S.S.R. », 78 (1951), pp. 641–644;T. Uno,On the formation of limit cycles, « Math. Japonicae », 2 (1951), pp. 75–78;On the curves defined by some differential equations, ibid., 2 (1952), pp. 119–126.MathSciNetGoogle Scholar
  3. (3).
    T. Uno -R. Yokomi,On some mode of appearance of limit cycles, « Math. Japonicae », 2 (1952), pp. 117–118.MathSciNetGoogle Scholar
  4. (4).
    Cfr. ad es.S. Lefschetz,Lectures on differential equations, Princeton University Press, 1948, p. 142 e segg. Con le posizioni\(x = u/z,y = v/z,u^2 + v^2 + z^2 = 1,\) il sistema (B) diventa\(\left\{ \begin{gathered} uvz^2 du + z\{ v^2 z - (u + z)[(u - z)^2 + \lambda z^2 ]\} dv = \hfill \\ = v\{ v^2 z + (u + z)[(u - z)^2 + \lambda z^2 ]\} dz, \hfill \\ udu + vdv + zdz = 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.\) e perz=0 si hanno appunto i due punti singolari X ≡ (1, 0, 0) ed Y ≡ (0, 1, 0).Google Scholar
  5. (5).
    Per determinare la natura dei punti singolari (al finito) facciamo ricorso, qui e nel seguito, ai classici risultati contenuti inO. Perron,Ueber die Gestalt der Integralkurven einer Differentialgleichung erster Ordnung in der Umgebung eines singulären Punktes, 1er Teil, « Math. Zeitschrift », 15 (1922), 121–146; 2er Teil, ibid., 16 (1923), 273–295. Nel caso del puntoA ≡ (− 1, 0) con la traslazionex=X−1,y=Y il sistema (B) diventa\(\left\{ \begin{gathered} \dot X = - (4 + \lambda )X + 4X^2 + Y^2 - X^3 , \hfill \\ \dot Y = Y - XY, \hfill \\ \end{gathered} \right.\) CrossRefzbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  6. (7).
    I. Bendixson,Sur les courbes définies par les équations différentielles, « Acta Math. », 24 (1901), 1–88, p. 29.CrossRefGoogle Scholar
  7. (11).
    Ved.N. Levinson -O. K. Smith,A general equation for relaxation oscillations, « Duke Math. J. », 9 (1942), 382–403, p. 394; cfr. ancheG. Sansone,Equazioni differenziali nel campo reale, parte 2a (2a Ed., Bologna, 1949), p. 402 e segg.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  8. (14).
    Per la bibliografia su quest'argomento si veda ad es.:R. Conti,Soluzioni periodiche dell'equazione di Liénard generalizzata. Esistenza ed unicità, « Boll. U.M.I. », (3) 7 (1952), 111–118.zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
  9. (16).
    Sui concetti della stabilità ed instabilità di struttura si veda, anche per la bibliografia, il recente lavoro diH. F. De Baggis,Dynamical systems with stable structures, (Contributions to the theory of non-linear oscillations, vol. II), Princeton Univ. Press., 1952, pp. 37–59.Google Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B. V. 1954

Authors and Affiliations

  • G. Sansone
    • 1
  • R. Conti
    • 1
  1. 1.Firenze

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