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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 50, Issue 1, pp 319–339 | Cite as

Principio d’azione stazionaria nell’elettrodinamica dei fluidi

  • Bruno Finzi
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Si deducono da un unico principio d’azione stazionaria entrambe le equazioni spa zio-temporali che reggono il campo elettromagnetico in un corpo generico. Nel caso di un fluido, si aggiunge alla precedente azione elettromagnetica quella meccanica e dall’azione totale si trae, col procedimento diHilbert, il tensore energetico totale e quindi quello diAbraham, dovuto al solo campo elettromagnetico. Dalla stazionarietà dell’azione totale si ricavano tutte le leggi indefinite, elettromagnetiche e meccaniche, che reggono il moto dei fluidi elettrizzati, cioè le leggi rigorose dell’elettromagnetofluidodinamica.

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    Anche questo autore, al quale fanno capo le recenti ricerche ungheresi sull’argomento (« Hung. Acta Phys. », N. 5, 1949), trova mediante un processo variazionale che il tensore d’energia elettromagnetica ha la forma attribuitagli daAbraham. Il processo è però limitato al solo campo elettromagnetico e (come vuoleBorn) impone a priori la verifica del primo gruppo di equazioni maxwelliane. Con analoghe limitate variazioni elettromagnetiche opera ancheHorvath (« Il Nuovo Cimento », VII (1958) pp. 628–635), il quale, variando col tensore fondamentale la velocià del fluido e le permeabilità, conclude (con criteri diversi da quelli che adotteremo) a favore del tensore energetico diMinkowski.Google Scholar
  8. (11).
    Se l’ipersuperficie σ (a cui corrisponde il moto di una superficie nello spazio ordinario) è assegnata, e quindi è assegnaton v, e se su σ si esercitano azioni elettromagnetiche assegnate, i secondi membri delle (30) non sono nulli, perchè vi compaiono due vettori spazio-temporali assegnati (genericamente non nulli) provenienti dall’azione elettromagnetica superficiale della quale non si è tenuto conto nella nostra trattazione. Se invece l’ipersuperficie σ non è assegnata e soltanto si sa che su di essa è nulla l’azione superficiale, cosi come abbiamo implicitamente supposto nella nostra trattazione, allora σ è varietà caratteristica, corrispondente alle onde elettromagnetiche, e la sua equazione Ω(x 0,x 1,x 2,x 3)=0, nonchè le discontinuità che attraverso ad essa subisce il campo sono date dalle (30) scritte cosi: su σ {fαγΩ/γ=0, εαβμνFαγΩ/γ=0 (Nel vuoto cfr.:B. Finzi,Discontinuità dei campi elettromagnetici nello spazio-tempo, « Bollettino U. M. I. », 7 (1952), pp. 252–259;A. Pratelli, loco citato).zbMATHMathSciNetGoogle Scholar
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    D. Hilbert, loco citato. Cfr. ancheH. Weyl,Raum, Zeit, Materie, 5 Aufl. Berlin (1923);W. Pauli,Teoria della relatività, trad. ital. P. Gulmanelli, Torino (1958);L. Landau andE. Lifshitz,The classical theory of fields, trans. M. Hamermesh, Cambridge Mass. (1951).Google Scholar
  10. (16).
    Mentre il problema di calcolare πα, notoE αβ, è univocamente determinato, non lo è il problema inverso, anche se si impone adE αβ la simmetria. La soluzione generale di quest’ultimo problema si ottiene aggiungendo ad una sua soluzione particolare il più generale tensore doppio simmetrico a divergenza nulla: εαμργ εβνσδ χμνρσ/γδ dove il tensor quadruplo χμρνσ è arbitrario (è però essenzialmente χμρνσ=−χρμνσ=−χμρνσ= χνσμρ (B. Finzi,Integrazione delle equazioni indefinite della meccanica dei sistemi continui, « Rend. Acc. Naz. dei Lincei », XIX (1934), pp. 578–584, 620–623). La determinazione del tensore d’energia elettromagneticaE αβ non può dunque affidarsi alla risoluzione dell’equazioneE αβiβ= πα, anche se si impone a πα di ridursi semplicemente aq α e adE αβ d’essere simmetrico e d’avere nel vuoto la consueta espressione. La determinazione diE αβ deve avvenire attraverso un procedimento univoco, come quello che è stato adottato in questa Nota.Google Scholar
  11. (20).
    Equazioni spazio-temporali corrispondenti ad un diverso tensore simmetrico d’energia elettromagnetica (Eαβ−(1−εμ)Eαργυργυβ) sono raccolte nella Memoria diPham Mau Quan,Étude electromagnetique et thermodynamique d’un fluide relativiste chargé, « Journ. of Rat. Mechanics and Analysis », 5, 1956 pp. 473–538.zbMATHGoogle Scholar
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    Se in queste equazioni approssimate si facesse ρ=0, si otterrebbero quelle cheG. Carini (Sulle equazioni della magnetoidrodinamica, « Rend. Acc. Naz. Lincei », XXI, 1956, pp. 436–441) deduce associando alle equazioni dinamiche diEulero quelle elettromagnetiche diMinkowski relative ai corpi in moto. Si generalizzano così le equazioni della magnetoidrodinamica diAlfvén (H. Alfvén,On the Cosmogony of the Solar System, « Stockholms Observ. Ann. 14 »: n. 2 (1942), n. 5 (1943), n. 9 (1946); cfr.Cosmical electrodynamics, Oxford, 1953; cfr. ancheC. Agostinelli,Magnetoidodinamica, « Conferenze del Seminario di Mat. Bari », n. 8 (1955)).MathSciNetGoogle Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B. V. 1960

Authors and Affiliations

  • Bruno Finzi
    • 1
  1. 1.Milano

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