Advertisement

Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923 -)

, Volume 72, Issue 1, pp 105–131 | Cite as

Un teorema di unicità per una equazione a derivate parziali non lineare del secondo ordine

  • Maria Grazia Cazzani Nieri
Article
  • 23 Downloads

Sunto

Nel presente lavoro si considera l'equazione a derivate parziali del secondo ordine non lineare di tipo iperbolico
$$F(x,y,z,p,q,r,s,t) = 0$$
nell'ipotesi che la funzione F(x, y, z, p, q, r, s, t) sia continua con le derivate prime lipschitziane e si dimostra che su ogni superficie integrale z=z(x, y), dove z(x, y) è una funzione continua con le derivate prime e con le derivate seconde lipschitziane, vale (in senso generalizzato) il sistema delle equazioni differenziali delle strisce caratteristiche considerato nelle ipotesi classiche.

Nelle stesse ipotesi si dimostra inoltre un teorema di unicità della soluzione del problema diDarboux relativo all'equazione (I).

Literatur

  1. (1).
    Cfr.M. Cinquini Cibrario-S. Cinquini,Equazioni e derivate parziali di tipo iperbolico, Monografie del C.N.R., n. 12, Ed. Cremonese, Roma 1964, cap. III,L'equazione del secondo ordine quasi lineare e non lineare.Google Scholar
  2. (2).
    Cfr.M. G. Cazzani Nieri, Un teorema di esistenza per una equazione a derivate parziali non lineare del secondo ordine, Annali di Matematica, (IV) T. LXVII (1965), pp. 1–31.MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar
  3. (3).
    Cfr. l.c. in (1) cap. III, n. 2, c) sistema (25), p. 261.Google Scholar
  4. (4).
    M.G. Cazzani Nieri, Un teorema di esistenza per un sistema di equazioni a derivate parziali del primo ordine, Rend. Ist. Lombardo di Scienze e Lettere. Vol. 97 (1963), pp. 455–481.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  5. (5).
    M. G. Cazzani Nieri, Un teorema di unicità per un sistema di equazioni a derivate parziali del primo ordine, Rend. Ist. Lombardo di Scienze e Lettere. Vol. 96 (1962), pp. 334–342.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  6. (6).
  7. (7).
  8. (8).
    Circa la determinazione dei numeri α, β cfr. l.c. in (4), p. 465, diseguaglianze (20).MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  9. (9).
    Vale infatti anche in queste ipotesi più generali la dimostrazione data nel l. c. in (5): seguendo lo stesso procedimento del n.2, b), si dimostra dapprima che le diseguaglianze (19) (cfr. p. 341) valgono in quasi tutto (invece che in tutto) il rettaugoloR 0 (cfr. p. 338), ne segue poi, in virtù della continuità delle funzioniu i(λ, μ), (i=1, ...,m), (cfr. p. 338), che le (19) valgono in tuttoR 0.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  10. (11).
    Cfr. l.c. in (1) Cap. III, n. 2, c), pag. 259Google Scholar
  11. (12).
    Cfr.G. Sansone,Equazioni differenziali nel campo reale. Parte I, Cap. I, § 5 n. d, Parte II, Cap. VIII, § 1, n. 1, 2, 3.Google Scholar
  12. (13).
    Cfr.G. Sansone,Equazioni differenziali nel campo reale. Parte I, Cap. I, § 5 n. 1.Google Scholar
  13. (14).
    Circa il lemma diGronwall e relativa dimostrazione cfr.G. Sansone,Equazioni differenziali nel campo reale. Parte I, Cap. I, § 5 n. 3.Google Scholar
  14. (17).
    Cfr. l.c. in § 1 n. 2, diseguaglianze (6), (7).MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar
  15. (18).
    Cfr.M. Cinquini Cibrario -S. Cinquini Sopra una nuova estensione di un teorema di esistenza per equazioni a derivate parziali del primo ordine Annali di Matematica (IV) T. XLIII (1957), pp. 51–81; cfr. p. 72. Dal l.c. segue che ad un insieme di misura superficiale nulla diR′ corrisponde un insieme di misura superficiale nulla di δ′ e viceversa.MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar
  16. (19).
    Cfr.C. Rademacher, Uber partielle und totale Differenzierbarkeit von Funkionen mehrerer Variabeln und über die Transformation der Doppelintegrale. Mathematische Annalen 79 (1919), pp. 340–359, cfr. p. 347.MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar
  17. (20).
    Cfr.N. Berruti Onesti, Un teorema di unicità per l'equazione\(F\left( {x,y,z,\frac{{\partial z}}{{\partial x}},\frac{{\partial z}}{{\partial y}}} \right) = 0\), Annali di Matematica (IV) T. LXVI (1964), pp. 167–219, cfr. p. 204.MathSciNetCrossRefzbMATHGoogle Scholar
  18. (21).
    DettoA il determinante dei coefficienti delle derivate delle funzioni\(\bar x,\bar y,\bar z,\bar p,\bar q,\bar r,\bar s,\bar t\) si ha (cfr. l.c. in (2) § 2 n 7,a)\(A = F_r^2 (\sigma _1 - \sigma _2 )^2 ( - F_r \sigma _1 + F_s )\) e dalle (8), (9) segueA ≠ 0.Google Scholar
  19. (23).
  20. (24).
    Cfr. l. c. nella notaMathSciNetzbMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Nicola Zanichelli Editore 1966

Authors and Affiliations

  • Maria Grazia Cazzani Nieri
    • 1
  1. 1.Pavia

Personalised recommendations