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Sulle superficie integrali di due o più equazioni lineari a derivate parziali del 3o ordine

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Sunto

Questa Memoria trae occasione da una Nota diE. P. Lane sullo stesso argomento. IlLane crede di rilevare manchevolezze in un lavoro dell'A. del 1919 in cui, a seguito di una teoria generale sulle superficie (le coordinate proiettie omogenee dei cui punti sono) integrali di un sistema di equazioni a derivate parziali lineari ed omogenee, è trattato come esempio il caso indicato nel titolo.

L'A. riprende i risultati di quella Nota per mostrare la completezza della classificazione data nel 1919 e porre in rilievo una classe molto generale di superficie soddisfacenti al problema che è sfuggita alLane. IlBowles, allievo delLane, ha aggiunto qualche ulteriore conseguenza geometrica in parte erronea, mentre i risultati esatti corrispondenti sono esplicitamente enunciati nella Nota dell'A. del 1919.

Literatur

  1. (1)

    Determinazione delle superficie integrali di un sistema di equazioni a derivate parziali lineari ed omogenee. « Rendic. del R. Istituto Lombardo », 1919, vol. LII: parte I. pagg. 610–625 e parte II, pagg. 626–636. Citerò questo lavoro con « D. S. I. ».

  2. (2)

    Integral surfaces of pairs of partial differential equations of the third order. « Transactions of the American Mathematical Society », vol. 32, n. 4, pagg. 782–793.

  3. (3)

    Integral surfaces of pairs of differential equalions of the third order. A dissertation submitted to the graduate faculty in candidacy for the degree of doctor of philosophy byCh. F. Bowles. « The University of Chicago Libraries ». Chicago, Ill., 1939, pagg. 1–106.

  4. (7)

    A quel corso hanno assistito il prof.E. P. Lane dell'Università di Chicago, il prof.E. Stouffer dell'Università del Kansas, il prof.Enea Bortolotti, i dott.L. Burani, S. Cinquini, E. Lindner, G. Palozzi ed altri. Le proprietà riguardanti l'intorno del 3o ordine sono state svolte dal 14 Marzo al 16 Maggio 1927. Negli appunti del corso che ho passato agli studenti (com'è mia abitudine) ho sviluppato largamente la teoria invariantiva (invarianti finiti, differenziali, loro interpretazione geometrica, trasformazioni) delle superficie integrali di una o due equazioni del 3o ordine, che mi riservo di pubblicare in altra occasione. Per quanto ricordo, nel periodo indicato i prof.Lane eStouffer non erano più a Bologna.

  5. (8)

    Ho esposto questa nozione, ed altre che incontreremo poi, in numerosi lavori a partiredal 1912; v. p. es.Sopra alcune estensioni dei teoremi di Meusnier e di Eulero. (« Atti Acc. di Torino », 1912).

  6. (9)

    « D. S. I. », pagg. 614 e 615 (Lemma e Corollario I).

  7. (12)

    « D. S. I. » pag. 612 in nota. Spazio bitangente è ogni spazio congiungente i piani tangenti in due punti infinitamente vicini; esso dipende quindi da un punto della superficie e da una tangente in esso (ed è unS 4 seS(2) ≡S 5). Analogamente (loc. cit.) si definisce lo spaziov-tangente per un elemento di curva d'ordinev.

  8. (13)

    Spazio osculatore (o meglio 2-osculatore) ad una rigata lungo una generatrice è quello contenente la generatrice e due infinitamente vicine (cioè i piani osculatori a curve della rigata in tutti i punti della generatrice). Questa ed altre nozioni più generali si trovano nella mia Memoria:Alcune proprietà proiettivo-differenziali dei sistemi di rette negli iperspazî. « Rend. Circ. Matem. di Palermo », t. XXXVII (1914).

  9. (15)

    « D. S. I. », pag. 632 e segg.

  10. (16)

    Loc. cit., pag. 793.

  11. (17)

    « D. S. I. », pagg. 626–631.

  12. (19)

    « D. S. I. », pagg. 628, 629.

  13. (20)

    Cioè dopo aver seguito, nel suo Cap. III, il procedimento da me dato e aver scritto le (17), cioè le precedenti (5), ilLane (pag. 787) scrive: « System (17) can be reduced still more by taking as the first equation therein another singular equation ». Quest'osservazione sbagliata, sulla quale si basa la ricerca delle forme canoniche, inficia tutto il Cap. III.

  14. (21)

    Con lo stesso procedimento seguito nella mia Nota:Le forme elementari etc. « Boll. Un. Mat. Ital. », 1926.

  15. (22)

    V. p. es. oltre « D. S. I. »:Sullo spazio d'immersione di superficie possedenti dati sistemi di curve. (« Rendic. Ist. Lombardo », 1914, vol. XLVII);Proprietà differenziali caratteristiche di enti algebrici. (« Memoria R. Acc. dei Lincei », 1921). Cito quest'ultima Memoria perchè in essa (e in una Nota preventiva sulla superficie diVeronese pubblicata nei « Rendic. dei Lincei ») ho ripetutamente insistito sul fatto che non è sempre necessario scrivere tutte le condizioni d'integrabilità di un sistema, bastando talvolta le più espressive di esse aventi un significato geometrico immediato per determinare la natura della superficie o varietà. Con la notazione [...] indico una combinazione lineare dei punti indicati in parentesi (quando non occorra specificarne i coefficienti); se poi non occorre specificare nemmeno i punti, ma solo il fatto che essi sono punti derivati d'ordine ≤v; scrivo più brevemente [S(v)] per indicare che quei punti appartengono allaS(v) osculatore inx.

  16. (25)

    IlLane impiega il Cap. II del suo lavoro per giungere a questa conclusione pressochè evidente. Le lineeu, v della superficie sono quasi-asintotiche γ2,3: in « D. S. I. » è già enunciatoin corsivo (pag. 630) il fatto che se una superficie possiede un doppio sistema di γ2,3 essa sta inS 8 (o in uno spazio minore). Nonostante ciò, questo sarebbe uno dei casi sfuggitimi secondo ilLane. È pure ovvio che le γ2,3 assorbono tutte le γ3,4.

  17. (26)

    E. P. Lane:Integral surfaces of triads of partial differential equations of the third order. (« The Tôhoku Mathem. Journal », vol. 33, n.i 1 e 2; 1930).

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Bompiani, E. Sulle superficie integrali di due o più equazioni lineari a derivate parziali del 3o ordine. Annali di Matematica 9, 287–306 (1931) doi:10.1007/BF02414102

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