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Sopra l'esistenza dell'estremo per una classe di integrali curvilinei in forma parametrica

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Mediante la semicontinuità l'A. perviene a teoremi di esistenza dell'estremo assoluto per problemi variazionali relativi a integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica dipendenti dalle derivate di ordine non superiore al terzo. I risultati raggiunti provano l'efficacia dell'impostazione che l'A. ha dato a tali problemi in una Memoria recentemente pubblicata nei Rend. del Circolo Matematico di Palermo, e al tempo stesso pongono in luce sia differenze tra il problema del terzo ordine e quello del secondo ordine, sia, per questo ultimo problema, diversità tra gli integrali curvilinei dello spazio e quelli del piano, di cui l'A. si era occupato alcuni anni fa.

Literatur

  1. (1)

    S. Cinquini,Sopra i fondamenti di una classe di problemi variazionali dello spazio, « Rend. del Circolo Matematico di Palermo », S. II, T. VI (1957), pp. 271–88.

  2. (2)

    Ci limitiamo a citare la seguente Memoria, cui nel seguito faremo riferimento:S. Cinquini,Sopra i problemi variazionali in forma parametrica dipendenti dalle derivate di ordine superiore, « Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa », S. II, vol. XIII (1944) [1947], pp. 19–49. Altri lavori sono apparsi nei citati Annali: vol. XIV (1945) [1948] e S. III vol. XI (1957) e nei Rendiconti dell'Accademia dei Lincei, vol. I (1946) pag. 500 e pag. 586 e vol. XXIII (1957), pag. 22 e pag. 116.

  3. (3)

    Cfr.S. Cinquini, luogo cit. in (2), n. 11, pag. 30. Come si è visto nel luogo ora ricordato, nel caso delle curve piane l'espressionex′(s)y″(s) − x″(s)y′(s) è una derivata esatta.

  4. (4)

    Cfr. le successsive note a piè pagina (11) e (26).

  5. (5)

    In altre parole pern=3 nella presente Memoria la dizione « campo limitato » ha un significato più ampi di quello dei nostri lavori di parecchi anni fa dedicati ai problemi variazionali di ordinen in forma ordinaria, ove si intendeva che fosse limitato il campo in cui potevano variare i punti (x, y, y′, ..., y (n−1)). Cfr. « Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa », S. II, vol. V (1936), n. 3, pag. 175.

  6. (6)

    In tutto il presente lavoro l'integrazione va intesa nel senso diLebesgue.

  7. (7)

    VediS. Cinquini, luogo cit. in (1), n. 4, pag. 275. Per la forma che assume l'integrale ℑC (2) (2) quando il parametro non è l'arco rettificato, rinvia o al luogo ora citato n. 3, pag. 278.

  8. (8)

    VediL. Giuliano,Sulle condizioni sufficienti per la semicontinuità degli integrali doppi del Calcolo delle Variazioni, « Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa », S. II, vol. X (1941), pp. 37–55. In particolare n. 2,a), pag. 42.

  9. (9)

    VediL. Tonelli,Su gli integrali del Calcolo delle Variazioni in forma ordinaria, « Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa », S. II, vol. III (1934), pp. 401–50. In particolare n. 3, pag. 408.

  10. (10)

    VediL. Tonelli, luogo cit. in (9),, n. 6, pp. 412–3.

  11. (11)

    Nel presente lavoro non ci occupiamo del caso, in cui il campoA non è limitato, perchè è evidente la forma nella quale i teoremi di esistenza stabiliti per gli integrali curvilinei del piano [vediS. Cinquini, luogo cit, in (2), § 4, pp 46–49] si estendono agli integrali curvilinei dello spazio.

  12. (12)

    VediS. Cinquini, luogo cit. in (2), n. 15, pag. 33.

  13. (13)

    Cfr.S. Cinquini, luogo cit. in (2), n. 18, pag. 36.

  14. (16)

    Cfr.S. Cinquini, luogo cit. in (2), n. 16.

  15. (17)

    VediS. Cinquini, luogo cit. in (2), n. 19, pag. 37. Per ragioni di chiarezza rileviamo che, se il limite inferiorei di ℑC (2) (2) nella classe considerata è negativo, è ovvio che possiamo limitarci a considerare curve della suceessione minimizzante le cui lunghezze, per ipotesi, risultano inferiori a un numero fisso, mentre se èi≥0, postoi+1=M, risultaM>0.

  16. (18)

    VediS. Cinquini, luogo cit. in (2), n. 21, pag. 39.

  17. (19)

    Vedi per esempioHardy-Polya-Littlewood,Inequalities, « Cambridge University Press » (1952), Cap. VI, teorema 201, pag. 148.

  18. (20)

    Cfr. la (12) del luogo cit. in (18).

  19. (21)

    Vedi le (13) e (14) del luogo cit, in (18).

  20. (24)

    VediS. Cinquini, luogo cit in (1), n. 7, pag. 282. Per la forma che assume l'integrale ℑC (3) (3) , quando il parametro non è l'arco rettificato, rinviamo al luogo ora citato n. 6, pag. 279.

  21. (25)

    VediS. Cinquini, luogo cit. in (2), n. 9, pag. 28, e ancheL. Tonelli, luogo cit. in (9).

  22. (27)

    VediS. Cinquini, luogo cit. in (2), n. 15, pag. 33.

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A Giovanni Sansone nel suo 70mo compleanno.

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Cinquini, S. Sopra l'esistenza dell'estremo per una classe di integrali curvilinei in forma parametrica. Annali di Matematica 49, 25–71 (1960). https://doi.org/10.1007/BF02414039

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