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Su certe teorie non enumerabili

Sulle limitazioni dei sistemi formali, I

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Sunto

Si studiano certi sistemi che, pur non essendo in senso stretto sistemi formali, sembrano proponibili come schematizzazione adeguata di un certo modo di procedere matematico e al tempo stesso sfuggono ad alcune delle ordinarie limitazioni gödeliane. Lo studio viene sostanzialmente condotto dal punto di vista della teoria delle funzioni ricorsive. Tali sistemi vengono introdotti a studiati come contributo alla discussione sulla portata e sulle cosiddette conseguenze « filosofiche » delle limitazioni gödeliane, nel senso che tale discussione può, a giudizio dell'autore, essere condotta con maggiore chiarezza se, accanto ai sistemi formali propriamente detti, vengono considerati i sistemi qui introdotti.

Questo lavoro non presenta risultati tecnici sostanzialmente nuovi, dal punto di vista tecnico infatti la maggior parte delle proposizioni dimostrate si riduce a una serie di esercizi su certi insiemi numerici di grado di insolubilità minore o uguale a 2. Risultati tipici sono:

  1. (a)

    nei sistemi considerati (se consistenti) data una proposizionep, op è una « tesi definitiva » (vedi § 2) o lo è ¬p (se il sistema non è consistente l'insieme delle « tesi definitive » è vuoto).

  2. (b)

    Per ogni sistema formale classicoF consistente e in grado di « esprimere » la propria consistenza esiste un sistemaF* del tipo eonsiderato tale che:

    1. (b,1)

      Ogni tesi diF è fra le tesi definitive diF*.

    2. (b,2)

      Fra le tesi definitive diF* ce n'è una che « asserisce » la consistenza diF*.

    3. (b,3)

      F* è consistente.

    4. (c)

      Esiste un procedimento effettivo il quale ad ogni sistema del tipo considerato tale che ogni tesi dell'aritmetica peaniana sia tra le sue tesi definitive associa una proposizione che è vera se e solo se non è fra le tesi definitive del sistema.

Questi risultati dipendono da semplici circostanze di teoria delle funzioni ricorsive e sono facili da dimostrare; il loro eventuale interesse riposa su certe ipotesi, opinabili, ma, a giudizio dell'autore, sostenibili, riguardanti i sistemi considerali, per esempio l'ipotesi che i sistemi considerati schematizzino bene un modo di procedere sostanzialmente ammesso dalla comunità matematica.

Summary

(added in proof reading). — We propose some concepts as rigorous counterpart of the informal concept of « theories which proceed by trials and errors ». In such a theory it is reasonable to suppose that the set of the theorems is in Σ 2 (in the arithmetical hierarchy). We study the problems linked with Gödel's limitations for theories for which the set of theorems is in one of the following classes:

  1. i)

    the set D of the socalled « dialectic sets » (the adjective « dialectic » is playful: there are not ties with the philosophical dialectics):

  2. ii)

    Δ=Σ2⋂Π2.

  3. iii)

    Σ2.

Every set in D is a Lindenbaum's completion of the set of the theorems of an usual formal system.

Examples of results:

  1. 1.

    Let T be the set of the theorems of the Peano's arithmetic (or of a formal system to which the Peano's arithmetic is reducible).

    Then there esists a T* ∈ D, T ⊆ T*, T* consistent for which a proposition which « expresses » the consistency of T* is in T*.

    It is possible to strenghten these results. Roughly speaking we have:

    For every « reasonable » way which associates with every T* ⊇ T a proposition pT* which « expresses » the consistency of T* there exists a consistent T* for which:

    (see section 7).

  2. 2.

    There exists a (recursive) procedure which for every A∈Σ2, where A is a set of propositions of the Peano's arithmetic, picks out a p which is true (in the standard model) iff p∉A.

    (But there is not a procedure which picks out for every A, a p which is true but is not in A) (see section 6 and footnote (17)).

    Similar results (in particular the results of 2 of the summary for which he gives an important specification) were indipendently found by R. G. Jeroslow (seeTwo theorems on experimental logics by R. G. Jeroslow, Res. Rep. 73-4 Dept. of Math. Mellon Inst. of Science, Carnegie Mellon University).

Elenco dei lavori citati

  1. [1]

    W. Craig,On axiomatizability within a system, Jour. of Symb. Logic,18 (1953), pp. 30–32.

  2. [2]

    S. Feferman,Arithmetization of metamathematics in general setting, Fund. Math.,49 (1960), pp. 35–92.

  3. [3]

    E. M. Gold,Limiting recursion, Jour. of Symb. Logic,18, (1965), pp. 28–48.

  4. [4]

    C. Mangione,Su alcune questioni connesse con i principi di riflessione, Symp. Math. dell'Ist. Naz. di Alta Mat.,5 (1971), pp. 189–201.

  5. [5]

    E. Mendelson,Introduction to mathematical logic, New York (1964).

  6. [6]

    H. Putnam,Trial and error predicates, Journ. of Symb. Logic,18 (1953), pp. 49–57.

  7. [7]

    H. Rogers,Theory of recursive functions and effective computability, New York (1967).

  8. [8]

    J. J. Smart,Gödel's Theorem, Church's Theorem, and Mechanisms, Synthese,13 (1961), pp. 105–110.

  9. [9]

    J. J. Smart,Philosophy and scientific realism, London (1965).

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Additional information

Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del Comitato per le Scienze Matematiche del C.N.R. (1972).

Entrata in Redazione il 20 febbraio 1973.

(Aggiunto in bozza). Risultati simili (in particolare per quanto riguarda il punto (c) del sunto, di cui fornisce un'importante precisazione, e il risultato enunciato nella nota (17)) sono stati stabiliti indipendentementa daR. G. Jeroslow. (Cfr.R. G. Jeroslow,Two theorems on experimental logics Res. Rep. 73–4 Dept. of Math. Mellow Inst. of Science Carnegie-Mellon University).

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Magari, R. Su certe teorie non enumerabili. Annali di Matematica 98, 119–152 (1974) doi:10.1007/BF02414017

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