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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 29, Issue 1, pp 307–313 | Cite as

Sul prodotto di due trasformazioni puntuali

  • Mario Villa
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Sunto

Si costruiscono le direzioni e le proiettività caratteristiche della trasformazione prodotto di due trasformazioni puntuali fra piani, assegnate le direzioni e le proiettività caratteristiche di queste.

Literatur

  1. (1).
    Si veda:M. Villa,Trasformazioni quadratiche osculatrici ad una corrispondenza puntuale fra piani proiettivi, Note I e II, « Rend. dell'Accademia d'Italia », Ser. VII Vol. III, p. 718 e Vol. IV, p. 1, 1942;M. Villa,Le trasformazioni puntuali fra due spazi lineari, Note I, II, III, « Rend. dell'Accademia dei Lincei », Ser. VIII, Vol. IV, pp. 55, 192, 295; 1948. Si veda anche:E. Bompiani,Sulle trasformazioni puntuali fra piani proiettivi, « Memorie dell'Accademia d'Italia », Ser. VI, Vol. XIII, p. 837, 1942.Google Scholar
  2. (2).
    Il problema risolto nel presente lavoro è fra quelli proposti nella mia comunicazione al III Congresso dell'Unione Matematica Italiana (Pisa, settembre 1948). Comunicai il risultato qui ottenuto, insieme a vari altri, al II Congresso della Società Matematica Austriaca (Innsbruck, settembre 1949). Per incidenza, ricordo che in altro lavoro (M. Villa,Superficie della V46 di Segre e relative trasformazioni puntuali. « Memorie dell'Accademia delle Scienze di Bologna ». Ser. IX, Vol. IX, p. 133, 1942) ho assegnato la costruzione sullaV 46 diSegre della superficie rappresentativa della trasformazione prodotto di trasformazioni puntuali mediante un procedimento che ho chiamatoregola del parallelogramma perchè ricorda la classica regola che porta lo stesso nome. Nella mia comunicazione di Pisa avevo espresso, fra l' altro, il parere che era necessario dare una dimostrazione della proprietà, sotto molti aspetti intuitiva (si veda ad es.M. Villa,Ricerche locali sulle trasformazioni cremoniane, « Memorie I e II dell'Accademia delle Scienze di Bologna », Ser. X, Vol. I, p. 189, Vol. II, p. 117, 1943–1944), che ogni trasformazione puntuale fra due piani, in una coppia regolare e in un intorno d'ordine qualunque, fosse approssimabile con una trasformazione cremoniana (in una coppia non regolare la proprietà non è vera:M. Villa,Sulle trasformazioni puntuali in una coppia a Jacobiano nullo nel caso cremoniano, « Rend. dell'Accademia dei Lincei », Ser. VIII, Vol. II, p. 136, 1947). La dimostrazione, pubblicata daB. Segre in uno di questi stessi volumi del centenario degli Annali, dedicati aFrancesco Severi, conferma appieno la mia previsione, che cioè fosse effettivamente necessaria una dimostrazione, giacchè questa non era per nulla immediata. La non immediatezza della dimostrazione aveva indotto alcuni ad avanzare l'ipotesi che la proprietà potesse addirittura non essere vera. IlSeveri, al quale fin dal 1941 avevo espresso la necessità di darne la dimostrazione, non ne mise mai in dubbio la verità. Riguardo ad alcune mie caratterizzazioni dei sistemi omaloidici (per il piano :M. Villa,Proprietà caratteristiche delle reti omaloidiche, Note I e II, « Rend. dell'Accademia dei Lincei », Ser. VIII, Vol. V, pp. 122, 231; 1948. Per lo spazio :M. Villa eC. Sangermano,Condizione affinchè una trasformazione puntuale fra due S3,in una coppia a Jacobiano nullo, sia osculabile con una trasformazione cremoniana, « Bollettino dell'U.M.I. », Ser. III, Vol. IV, p. 23, 1949) osservo che nel mio teorema «condizione necessaria e sufficiente affinchè una rete Rdi curve piane algebriche d'ordine n>1sia omaloidica è che la curva generica di Rintersechi la Jacobiana Jdi Rsoltanto nei punti base e che in questi Jsi comporti regolarmente” la necessità della 2a condizione è fuor di dubbio. Esempi che la provano si hanno subito (si veda:M. Villa,Sulle singolarità della Jacobiana di r+1ipersuperficie dello spazio ad rdimensioni, « Memorie dell'Istituto Lombardo di Scienze e Lettere », Ser. III, Vol. XIII, p. 180, 1931): la rete di grado due λ1 x 12 x 32 x 22 x 33 x 1 x 2(x 1+x 2+x 3)=0 soddisfa alla 1a condizione essendo la sua Jacobianax 12 x 22 x 3(x 1+x 2)=0. La regolarità della JacobianaJ nei punti bases upli si ha quando in essi laJ ha esattamente multiplicità (eventualmente virtuale) 3s -- 1, e ciò non da luogo ad equivoci (tenuto conto del fenomeno dello scaricamento per i punti base infinitamente vicini). Ad es. per una rete omaloidica (irriducibile) di coniche, se i tre punti base sono distinti laJ ha in ciascuno di essi la multiplicità effettiva 2, se un punto baseB è infinitamente vicino al punto baseA, J ha multiplicità effettiva 3 inA e 1 inB (fenomeno dello scaricamento), se il terzo punto baseO è poi infinitamente vicino aB, sicchè i tre punti base sono infinitamente vicini,J ha multiplicità effettiva 3 inA, 3 inB, zero inC (fenomeno dello scaricamento), ma in ogni casoJ ha nei tre punti base multiplicità virtuale 2 essendo 2+2+2=3+1+2=3+3+0. Aggiungo infine che l' obiettivo finale dei miei lavori sui sistemi omaloidici ê quello di esprimere lecondizioni analitiche dell'omaloidicità, in guisa di ottenere eventualmente un metodo algebrico per la ricerca dei sistemi stessi.Google Scholar
  3. (3).
    Si supporrà che inO, O′ si verifichi il caso generale, cioè che ivi le direzioni caratteristiche diT 1 non siano indeterminate e siano tutte tre distinte.Google Scholar
  4. (4).
    Anche le direzioni caratteristiche diT 2 inŌ, O″ si suppongono non indeterminate e tutte tre distinte. Inoltre ler,\(\bar s,\bar t\) si supporranno tutte distinte daller, s, t, come appunto si verifica in generale.Google Scholar
  5. (8).
    M. Villa, il primo lavoro cit., n. 6.Google Scholar
  6. (9).
    L'omografia ω è individuata da questi elementi : basta infatti osservare che è individuata la proiettività frat′,\(\bar t\) e la proiettività sulla retta unitai′ determinata da quella esistente fra i fasci sovrappostiO′,Ō.Google Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B. V. 1949

Authors and Affiliations

  • Mario Villa
    • 1
  1. 1.Bologna

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