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Condizioni necessarie per la semicontinuità degli integrali sopra una superficie in forma parametrica

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Si danno condizioni necessarie per la semicontinuità degli integrali sopra una superficie in forma parametrica nella sola ipotesi che la superficie abbia area finita secondoLebesgue. In particolare si dimostra, per tali superficie, la condizione diWeierstrass.

Literatur

  1. (1)

    L. Cesari, a) La nozione di integrale sopra una superficie in forma parametrica, « Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa », Ser. II, Vol. XIII (1944), pp. 77–117;

  2. (1)b)

    Condizioni sufficienti per la semicontinuità degli integrali sopra una superficie in forma parametrica, id. id., «, Vol. XIV (1945), pp. 47–79.

  3. (2)

    E. J. McShane,On the necessary condition of Weierstrass in the multiple integral problem of the Calculus of Variations, « Annals of Mathem. », Ser. II, Vol. 32 (1931), pp. 723–733;On the semicontinuity of double integrals in the Calculus of Variations, id. id., Vol. 33 (1932), pp. 460–484;Integrals over surfaces in parametric form, id. id., Vol. 34 (1933), pp. 815–838. Per quanto riguarda le superficie in forma parametrica,E. J. Mc Shane considera soltanto quelle di tali superficie che sono « rettificabili » cioè quelle superficie che si possono rappresentare mediante funzioni lipschitziane nel quadrato fondamentale. Egli estende poi i suoi risultati alle superficie di classeL, cioè a quelle superficie che si possono rappresentare mediante funzioni, a variazione limitata ed assolutamente continue secondoTonelli nel quadrato fondamentale, dotate quasi ovunque di derivate parziali prime integrabiliL 2.

  4. (3)

    L. Tonelli,Fondamenti di Calcolo delle Variazioni, Bologna, Zanichelli, 1o vol., 1921, 2o vol., 1923.

  5. (4)

    R. Caccioppoli eG Scorza Dragoni,Necessità della condizione di Weierstrass per la semicontinuità di un integrale doppio sopra una data superficie, « Memorie Accademia d'Italia », Vol. IX (1938), pp. 251–268.

  6. (5)

    Cfr. loc. cit. in (2).

  7. (6)

    Loc. cit. in (1), a).

  8. (7)

    Più precisamente nelle sole ipotesi 1) e 2) sulla funzioneF (loc. cit. in (1), a), pag 81). Della condizione 3) mi sono servito per stabilire condizioni sufficienti per la semicontinuità dell'integrale JS (loc. cit. in (1), b)).

  9. (8)

    Loc. cit. in (1), a). Cfr. inoltreL. Cesari., c)Sulla quadratura delle superficie in forma parametrica, « Boll. U.M.I. », Ser. II, Anno IV (1942), pp. 109–117; d)Sui fondamenti geometrici dell'integrale classico per l'area delle superficie in forma parametrica, « Memorie Accademia d'Italia », Vol. XIII (1943), pp. 1323–1481; e)Sulla trasformazione degli integrali doppi, « Annali di Matematica », Ser. IV, Tomo 27 (1948), pp. 321–374.

  10. (9)

    Cf. loc. cit. in (1), b), pag. 51.

  11. (11)

    Ogni superficieS 0 di area finita secondoLebesgue ammette infinite rappresentazioni aventi tale proprietà. Cfr.L. Cesari, Parametrizzazione delle superficie continue di area finita seccndoLebesgue, « Annali di Matematica », Ser. IV, Tomo XXVI (1947), pp. 301–374.

  12. (12)

    L. Cesari,Sopra un teorema di approssimazione per le superficie continue in forma parametrica, « Rend. Accad. Lincei », Ser. VIII, Vol. IV (1948), pp. 33–39; particolarmente Teor. III, pag. 35.

  13. (13)

    Cfr. per lo notazioni loc. cit. in (1), a), pp. 79–81.

  14. (14)

    La prima delle α) è la definizione di Jacobiano generalizzato assoluto, loc. cit. in (8), c), pag. 115 e d), pag. 1419. L'esistenza quasi ovunque inQ del secondo limite α) è provato in loc. cit. in (8), d) pag. 1451, 1456. La β) è la definizione di Jacobiano generalizzato relativo, loc. cit. in (8), d), pag. 1432 ed e), pp. 329–330. La γ) segue da un mio teorema, oc. cit. in (8), d), pag. 1469, mentre la seconda uguaglianza del secondo rigo di γ) segue dal fatto che, quasi ovunque inQ, èH r =≠J r ,r=1, 2, 3, loc. cit. in (8), d), pag. 1432. La δ) è la nota proprietà di media dell'integrale diLebesgue, le ε) sono il teorema di densità per gli insiemiJ 1, eJ 2.

  15. (15)

    Cfr. loc. cit. in (8), d), pag. 1419, 1451, 1479, 1480.

  16. (16)

    Loc. cit. in (12).

  17. (17)

    Ho già fatto uso più volte di tale relazione in loc. cit. in (1), a), pp. 87, 97, 104.

  18. (18)

    Cfr. loc. cit. in (1), a), pag. 87. InoltreL. Cesari,Proprietà tangenziali delle superficie continue, « Comm. Mathem. Helvetici », Vol. 22 (1949), pp. 1–16, particolarmente pag. 14.

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Cesari, L. Condizioni necessarie per la semicontinuità degli integrali sopra una superficie in forma parametrica. Annali di Matematica 29, 199–224 (1949). https://doi.org/10.1007/BF02413927

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