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Über die polykonischen Loxodromen

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Zusammenfassung

Die schon vonPirondiniundCesàro betrachteten Raumkurven, die die Erzeugenden zweier Kegel unter konstanten Winkeln schneiden, werden mittels einer elementaren Methode untersucht. Die bisher bekannten Eigenschaften, die sich hier als Sonderfälle eines allgemeineren Satzes ergeben, werden um neue bemerkenswerte Eigenschaften vermehrt. Die analytische Darstellung dieser Kurven rvird auf ein elliptisches Integral zurückgeführt.

Literatur

  1. (1)

    A. Enneper,Zur Theorie der Curven doppelter Krümmung, « Math. Ann. »,19 (1882), 72–83.

  2. (2)

    G. Scheffers,Über Loxodromen, « Ber. sächs. Ges. Wiss. Leipzig », (1902), 363–370.

  3. (3)

    G. Pirondini,Sur les trajectoires isogonales des génératrices d'une surface développable, Crelles J.118 (1897), 61–73.

  4. (4)

    E. Cesàro.Analisi intrinseca delle eliche policoniche, « Rend. acc. sci. fis. mat. Na. poli », ser. III,9 (1903), 73–89.

  5. (5)

    Über den ebenfalls hierher gehörigen Sonderfall dersphärischen Kegelloxodromen (3) vgl.W. Wunderlich.Ueber die Torsen, deren Erzeugenden zwei Kugeln berühren, « Soc. Sc. Fennica, Comm. Phys.-Math. »,14 (1949), 1–16.

  6. (6)

    G. Loria,Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven, (Leipzig, 1902), Bd. I, 174 ff.

  7. (7)

    G. Darboux,Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques, (Paris, 1873), 154. — Die Kreise liegen in den Minimalebenen durch die BrennpunkteF i .

  8. (8)

    Für spezielle polykonische Loxodromen braucht der Satz nicht zu gelten. Rücken z.B. zwei ordentliche Brennpunkte zusammen, so artet das Cartesische Oval zu einerPascalschnecke aus, u.zw. zu einer verkürzten füre 1=e 2, zu einer verschlungenen füre 2=e 3, und zu einer gespitzten (Kardioide) füre 1=e 2=e 3. Die zugehörige Drehzyklide φ wird durch eine Inversion aus dem Doppelpunkt, in dem die Brennpunkte vereinigt sind, in ein verlängertesDrehellipsoid, zweischaligesDrehhyperboloid bzw.Drehparaboloid verwandelt, wobei die Loxodromen von φ inBöschungslinien auf den genannten Flächen 2. Grades übergehen. Die Projektionen dieser Loxodromen aus dem Inversionszentrum auf eine achsennormale Ebene können demzufolge alsnichteuklidische Kreistraktrizen im Sinne einer elliptischen Massbestimmung nachCayley-Kleinschem Muster aufgefasst werden. Vgl.W. Wunderlich,Über die Schleppkurven des Kreises, « Sitzungsber. Ak. Wiss. Wien »,156 (1948), 155–173.

  9. (11)

    W. Blaschke,Bemerkungen über allgemeine Schraubenlinien, « Monatsh. Math. Phys. »,19 (1908), 188–204:« Die Polare einer Böschungslinie auf einer Drehfläche 2. Grades mit lotrechter Achse ist eine gleichartige Böschungslinie, affin zur ersten ».

  10. (12)

    G. Darboux,Des courbes tracées sur une surface, et dont la sphère osculatrice est tangente en chaque point à la surface, « C. R. »,73 (1871), 732–736.G. Loria,Curve sghembe speciali, (Bologna, 1925), I, 24; II, 225.

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Wunderlich, W. Über die polykonischen Loxodromen. Annali di Matematica 29, 177–186 (1949). https://doi.org/10.1007/BF02413925

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