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Curve algebriche reali nello spazio euclideo e nello spazio iperbolico

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Si limita superiormente il numero dei continui della parte reale di una curva gobba algebrica reale di assegnati caratteri, così nello spazio euclideo come nell'iperbolico, e si dànno teoremi esistenziali su casi di massimo per le curve di ordine assegnato, per quelle di una qualunque famiglia di curve non speciali e per le intersezioni complete di due superficie algebriche reali.

Literatur

  1. (1)

    L. Brusotti,Curve algebriche reali nel piano euclideo e nel piano iperbolico, « Boll. Unione mat. it. », 17 (1938), pag. 214–218.

  2. (2)

    Sulla fondamentale ma non facile questione di tale ripartizione in famiglie (M. Nöther, G. Halphen, F. Severi, ...) vedansi esaurienti notizie e riferimenti nell'articolo:K. Rohn undL. Berzolari,Algebraische Raumkurven und abrvickelbare Flächen, in « Encycl. der math. Wiss. ». III, 2, pag. 1229–1436 (specialmente pag. 1308–1335). Una chiara definizione di « famiglia » leggesi inF. Severi,a) Vorlesungen über algebraische Geometrie, Leipzig und Berlin, 1921, Anhang G, pag. 353–354. Cfr. pure:F. Severi,b) Sulla classificazione delle curve algebriche e sul teorema d'esistenza di Riemann, « Rend. R. Acc. dei Lincei », (5), 24 (1915), pag. 877–888, 1011–1020.

  3. (3)

    Su tali famiglie cfr.K. Rohn undL. Berzolari, (2), pag. 1317.

  4. (4)

    A. Harnack,Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven, « Math. Ann. » 10 (1876), pag. 189–198. Cfr. pureF. Severi, (2),a), pag. 233–236.

  5. (5)

    Cfr.K. Rohn undL. Berzolari (2), pag. 1246.

  6. (6)

    D. Hilbert,Ueber die reelen Züge algebraischer Curven, a) « Math. Ann. », 38 (1891) pag. 113–138, a pag. 122;

  7. (6)b

    ,Ueber die reelen Züge algebraischer Curven, a) Ges. Abhandlungen, 2 (Berlin, 1933), pag. 415–436, pag. 421. Una diversa dimostrazione inL. Brusotti,Sul numero dei circuiti delle curve algebriche reali di una quadrica reale, « Rendiconti di Matematica », (5), 3 (1942), pag. 113–120; ivi sono ricoŕdati anche lavori diM. Piazzolla Belocii e diC. Gigli sull'argomento.

  8. (7)

    L. Brusotti,Curve algebriche reali prossime a multilateri, Pavia (Succ. Fusi, 1922), p. 13. I principali risultati di tale Nota sono riportati inK. Rohn undL. Berzolari (2), pag. 1347. In essa la questione è risolta affermativamente nello spazio adr dimensioni. Vi si fa uso di multilateri connessi a lati reali, utilizzando in questioni di realità noti metodi diF. Severi (2),a) pag. 359–364;b).

  9. (8)

    L. Brusotti,Sulla curva completa intersezione di due superficie algebriche reali, « Rend. R. Ist, Lomb. », (2), 61 (1928), pag. 470–476.

  10. (9)

    Se ne trovano raccolti inL. Brusotti (6)D. Hilbert,. Ad essi può ora aggiungersi il caso relativo alle curve sopra una rigata razionale a generatrici reali trattato inV. E. Galafassi.Sulle curve algebriche reali delle rigate razionali a generatrici reali, « Rend. Acc. Naz. dei Lincei », (8), 1 (1946), pag. 827–831, 922–927. Per la stessa questione nell'indirizzo birazionale' accanto al elassico risultato diF. Nlein per le curve iperellittiche, può ricordarsi quello per le curve trigonali stabilito inV. E. Galafassi,Questioni di realità sulle curve trigonali reali, « Annali di matematica », (4), 27 (1948), pag. 135–151.

  11. (10)

    Cfr.D. Hilbert (6),a)Ueber die reellen Züge algebraischer Curven, a) « Math. Ann. », 38 (1891) pag. 121.

  12. (10)

    Cfr.D. Hilbert (6),b) pag. 420.

  13. (11)

    Cfr.K. Rohn undL. Berzolari (2), pag. 1319.

  14. (12)

    Cfr.F. Severi (2),b), pag. 1019–1020;Nuovi contributi alla teoria dei sistemi continui di curve appartenenti ad una superficie algebrica, « Rend. R. Acc. dei Lincei », (5), 25 (1916), pag. 459–471, 551–562, a pag. 556;B. Bigi,La « piccola variazione » di una curva algebrica reale connessa, con speciale riguardo al caso di Harnack, « Rend. Acc. Naz dei Lincei », (8), 2 (1947), pag. 27–30, 125–129.

  15. (13)

    Cfr.B. Bigi (12), pag. 30.

  16. (15)

    L. Brusotti (3), pag. 72–75.

  17. (16)

    A. Cayley,A sixt Memoir upon Quanties, « Trans. of the R. Soc. of London », 149 (1859), pag. 61–90, oppure « Collected mathematical Papers », 2 (1889), pag. 561–592, a pag. 586;F. Klein,Ueber die sogenannte Nicht-Euclidische Geometrie. « Math. Ann. », 4 (1871), pag. 573–625, a pag. 607, oppure Ges- math. Abhandlungen, 1 (Berlin, 1921), pag. 254–305, a pag. 287.

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Brusotti, L. Curve algebriche reali nello spazio euclideo e nello spazio iperbolico. Annali di Matematica 29, 35–42 (1949) doi:10.1007/BF02413912

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