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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 12, Issue 1, pp 75–115 | Cite as

Sul calcolo plurivettoriale negli spaziSn e applicazioni alla meccanica dei sistemi rigidi

  • Mario Manarini
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Sunto

Si stabiliscono alcuni complementi sulle omografie vettoriali e in particolare sulle omografie assiali; si applicano i risultati ottenuti per sviluppare il Calcolo plurivettoriale in modo assoluto, cioè senza l'uso dell'ordinario Calcolo tensoriale.

Come conseguenza, si estende allo spazioSn, conn > 3, l'operatore ∧ (prodotto vettoriale) ed il concetto di vettore di una omografia, finora considerati soltanto nello spazio ordinario. Così si sviluppa una teoria vettoriale che con altre ad essa riattaccantesi si presta utilmente per le indagini geometriche e fisico-matematiche negli spazi a più dimensioni.

Infine, come esempio illustrativo, si è fatta una applicazione meccanica, stabilendo i fondamenti della Cinematica dei sistemi rigidi negli spaziSn, ottenendosi rapidamente una discussione più esauriente di quelle già note.

Literatur

  1. (1).
    Cfr. ad es.:E. Cartan,Leçons sur la Géométrie des Espaces de Riemann, Gauthier-Villars, Paris, 1928;E. Cartan,La Géométrie des Espaces de Riemann, « Mémorial des Sciences Mathématiques », Fasc. IX, Gauthier-Villars, Paris, 1925;J. A. Schouten,Der Ricci-Kalkül, Springer, Berlin, 1924;A. Duschek eW. Mayer,Lehrbuch der Differentialgeometrie, B. II,W. Mayer,Riemannsche Geometrie, B. G. Teubner, Leipzig, 1930.Google Scholar
  2. (2).
    Cfr.C. Burali-Forti eT. Boggio,Espaces Courbes et critique de la Relativité, Sten, Torino, 1924;Analisi Vettoriale Generale, Vol. II,P. Burgatti, T. Boggio, C. Burali-Forti;Geometria differenziale, Parte II,Boggio, Zanichelli, Bologna, 1930.Google Scholar
  3. (1).
    Cfr.C. Burali-Forti eT. Boggio,Espaces Courbes ecc., loc. cit., pagine 19, 56, 58;P. Burgatti, « Boll. Un. Mat. It. », 1928, pag. 70.Google Scholar
  4. (2).
    Mi permetto a questo proposito di citare quanto afferma ilCartan nella prefazione alla Tesi del prof.Delens,Méthodes et Problèmes des Géométries differentielles Euclidienne et conforme, Gauthier-Villars, Paris, 1927 e cioè: «L'idéal serait de raisonner et de calculer sur les êtres géométriques eux mêmes ... «, ed a questo ideale corrisponde in modo lusinghiero il metodo vettoriale della Scuola italiana. Gioverà anche riflettere su quanto dice l'Appell a proposito del Calcolo Vettoriale inElements de Calcul Tensoriel, vol. V delTraité de Mécanique rationnelle, 1926, Gauthier-Villars, Paris. Ivi, a pag. 21, l'illustre Scienziato accetta detto calcolo per lo spazioS 3, rimanendone titubante per gli spaziS n specie se non sono euclidei. Ancora ilSeveri nel suo Discorso « La matematica italiana », tenuto a Trento nel 1930, (« cfr. Atti della Soc. It. per il Progresso delle Scienze », 1931, Vol. I, pag. 194) giudica « ... la moderna teoria dei vettori,tanto importante in numerose questioni matematiche e fisiche ».Google Scholar
  5. (1).
    In tal modo si ricade nella definizione di rango di altri Autori: cfr.B. De Finetti,Studio delle omografie vettoriali in relazione alle radici di In(x − x)=0, « Atti della Accademia Pontificia dei Nuovi Lincei », Anno LXXXII, 1929, pag. 387; per il caso delle assiali cfr.P. Burgatti,Proprietà delle omografie assiali in un Sn euclideo con applicazione alle formule di Frenet, « Rend. della R. Accademia dei Lincei », 1928, 1o sem., Vol. VII, pag. 791. Si potrà consultare utilmente ancheS. Pincherle eU. Amaldi,Le operazioni distributive e le loro applicazioni all' analisi, Cap. III e IV, Zanichelli, Bologna, 1901.Google Scholar
  6. (2).
    Cfr.C. Burali-Forti eT. Boggio,Espaces Courbes ecc., loc. cit., pag. 7, oppure Vol. II,dell'Analisi Vettoriale Generale, loc. cit., pag. 158.Google Scholar
  7. (1).
    Cf.P. Burgatti,Proprietà delle omografie assiali in Sn ecc., loc. cit.Google Scholar
  8. (1).
    Cfr.E. Cartan,Leçons sur les Espaces de Riemann, loc. cit., pag. 11.Google Scholar
  9. (2).
    Cfr.J. A. Schouten,Der Ricci-Kalkül, loc. cit.Google Scholar
  10. (1).
    Cfr.Enea Bortolotti,Invarianti angolari nella metrica bivettoriale, « Rend. del Seminario della Facoltà di Scienza di Cagliari », 1932, Vol. II, pag. 4–5 e le opere citate in questa Nota.Google Scholar
  11. (1).
    Cfr.E. Cartan,Leçons sur les Espaces de Riemann, loc. cit., pag. 10.Google Scholar
  12. (1).
    Cfr.Analisi vettoriale generale, Vol. I,C. Burali-Forti eR. Marcolongo, loc. cit., pag. 86.Google Scholar
  13. (1).
    Cfr.E. Cartan,Leçons sur la Géométrie des espaces de Riemann, loc. cit., pag. 7. In questa dimostrazione si fa uso delle componenti covarianti e contravarianti del bivettore che nel caso nostro coincidono essendo gli assi ortogonali.Google Scholar
  14. (1).
    Cfr.E. Cartan, loc. cit., pag. 11.Google Scholar
  15. (1).
    Cfr.M. Manarini,Rotazionale di un vettore negli spazi Sn, « Rend. R. Acc. dei Lincei », 1o sem., 1933-XI, pag, 706–712.Google Scholar
  16. (1).
    Per un'altra maniera di introdurre l'omografia di rotazione cfr.:Analisi vettoriale Generale, loc. cit., Vol. II, Parte II (Boggio), pag. 149;Burali-Forti eBoggio,Espaces Courbes ecc. (loc. cit.), pag. 244, ove l'assiale α è messa in relazione con i «coefficienti di Rotazione » che ilRicci considerò nel suoCalcolo differenziale assoluto (cfr. in propositoT. Levi-Civita,Lezioni di Calcolo differenziale assoluto, Alberto Stock, Roma, 1925, pag. 284 eAnalisi Vett. Gen., loc. cit., Vol. II,Boggio, pag. 265);E. Cartan, loc. cit., pag. 19;C. Agostinelli in loc. cit. più avanti. Esistono su tali argomenti antichi lavori delDe Franceschi, pubblicati nei « Rend. della R. Acc. delle Scienze di Napoli », trattati, s'intende, con il calcolo cartesiano. Cfr. ancora:Georges Tierchy,Sur les éléments immobiles dans une rotation dans l'Espace à ndimensions, « L'Enseignement Mathématique », 1926, XXV année, nn. 1-2-3, pag. 11–21.Google Scholar
  17. (1).
    Cfr.P. Burgatti,Lezioni di Mecc. razionale, Zanichelli, Bologna, Cap. III.Google Scholar
  18. (2).
    P. Burgatti,Lezioni di Meccanica razionale, loc. cit., Cap. III, n.o 2.Google Scholar
  19. (1).
    In una Memoria apparsa in due puntate negli « Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino », Vol. LXVII, 1932, avente per titolo:Sul movimento dei sistemi rigidi in uno spazio di ndimensioni, il dott.Cataldo Agostinelli tratta, in maniera diversa, lo stesso argomento di Cinematica inspirandosi a fondamenti posti dalBoggio. Egli afferma che l'omografia di rotazione, che in sostanza è la nostra assiale\(\alpha = \mathop \omega \limits_{n - 2} \wedge \), è pern parisempre propria e da ciò ne trae lasempre esistenza in un Sn pari del centro istantaneo di rotazioneC, considerato anche da noi. Ora ciò non è vero poichè quell'omografiapuò essere anche degenere come lo mostrano casi particolari di movimento e la possibilità di poterne costruire arbitrariamente di tali. L'affermazione inesatta dell'Agostinelli dipende da un'altra errata affermazione dello stesso Autore. Invero Egli afferma che per una assiale « sarà l'I n (invariante ennesimo) differente od uguale allo zero a seconda che l'S n in cui si muove il sistema è di un numero pari o dispari di dimensioni ». Invece sen è dispari ciò è senz'altro vero, ma sen è pari, l'I n dell'assiale può essere nullo e quindi l'assiale considerata dall'Agostinelli può essere anche degenere. Ne consegue che anche le altre deduzioni trattate dall'Agostinelli nel caso din pari, e fatte conseguire dal fatto di essere l'assiale consideratasempre propria non sono vere che allorquando si faccia esplicita ipotesi che quell'assiale sia effettivamente propria.Google Scholar

Copyright information

© Nicola Zanichelli 1934

Authors and Affiliations

  • Mario Manarini
    • 1
  1. 1.Bologna

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