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Sulle equazioni differenziali lineari soddisfatte dal prodotto di integrali particolari di due equazioni differenziali lineari omogenee assegnate e su alcune formule integrali dei polinomi di Laguerre e di Hermite

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Sunto

Stabilita l'equazione soddisfatta dal prodotto degli integrali particolari di due generali equazioni differenziali lineari omogenee del 2° ordine assegnate, con procedimento che ha carattere generale, si deducono poi particolari equazioni soddisfatte da cL n )(x)L m )(x), cHn(x)Hm(x), ecc., (c=costante). Infine si utilizzano alcune di esse per determinare delle formule integrali degli L n (α) (x), Hn(x).

Literatur

  1. (1)

    Il modo di risolvere la questione che ci interessa fu indicato dalClausen inCrelle's Journal, Vol. III, p. 89, (1828).F. E. Neuman inBeiträge zur Theorie der Kugelfunctionen, parte II, p. 91, (Leipzig 1878), risolve la questione nel caso in cui le (1) e (2) dsl testo sono equazioni di Legendre e tale procedimento è riprodotto daE. W. Hobson inThe Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics, (Cambridge, 1931), pp. 83–84.N. Nielsen si occupa della stessa ricerca, nel caso in cui le (1) e (2) siano le equazioni differenziali di due differenti funzioni metasferiche, nel suo libro:Fonctions Métasphériques, (Paris, 1911), pp. 129–130. Infine lo stessoNielsen nel cap. IX del suoHandbuch der Theorie der Zylinderfunktionen, tratta il caso in cuiu ev siano funzioni cilindriche di 1a specie. Qneste ricerche sono utili per determinare alcune interessanti formule integrali. Nielsen nel l. c., pp. 131–133 e 156–159 fa un'altra applicazione delle equazioni soddisfatte day=cuv, c=costante, per determinare lo sviluppo di alcune funzioni mediante il prodotto di due particolari funzioni metasferiche. Un'analoga ricerca, potrà farsi, servendosi dei risultati di questo lavoro, nei casi in cuiu ev siano altre classi di notevoli funzioni, e agevole sembra anzi questo studio quandou ev sono polinomi d'Hermite di diverso indice.

  2. (4)

    Cfr. a questo propositoA. Mambriani,Equazioni differenziali lineari aventi soluzioni polinomiali, « Boll. dell'Un. Mat. It. », fasc. del febbr. 1938, pp. 29–31 (teor. II).

  3. (5)

    Cfr.Kummer, Über die hypergeometrische Reihe\(1 + \frac{{\alpha \beta }}{{1 \cdot \gamma }}x + \frac{{\alpha (\alpha + 1)\beta (\beta + 1)}}{{1 \cdot 2 \cdot \gamma (\gamma + 1)}}x^2 + \) ..., « Journal v. Crelle », Vol. XV (1836), pp. 138–142. Cfr. inoltreAppell eKampé de Fériet,Fonctions hypergéometriques et hypersphériques, polynomes d'Hermite (1926), pp. 121–123.

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Palamà, G. Sulle equazioni differenziali lineari soddisfatte dal prodotto di integrali particolari di due equazioni differenziali lineari omogenee assegnate e su alcune formule integrali dei polinomi di Laguerre e di Hermite. Annali di Matematica 18, 309–325 (1939). https://doi.org/10.1007/BF02413776

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