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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 18, Issue 1, pp 275–308 | Cite as

Nuove ricerche nella teoria delle curve quasi-asintotiche

  • Mario Villa
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La Memoria è dedicata principalmente alla ricerca del massimoν e del minimo numeroμ delle equazioni d'ordines-1 (lin. indip.) a cui può soddisfare unaV k che possiede ∞ δ E2 diγ r, s (2k-1δ <3k-2;0 <r <s-1), dovek, δ, r, s sono assegnati, e allo studio delleV k soddisfacenti aμ o aν equazioni d'ordines-1 e che posseggono ∞ δ E2 diγ r, s .

Literatur

  1. (1).
    Ricorderò qui i seguenti:Ricerche sulle curve quasi-asintotiche, Note I e II, « Rendiconti dell'Accademia dei Lincei », vol. XXVIII, ser. 6a, 1938, pp. 246, 302;Ricerche sulle varietà Vk che posseggonoδE2 di γ1, 3,con particolare riguardo al caso K=4, δ=8, « Memorie dell'Accademia dei Lincei » vol. VII, ser. 6a, 1939, p. 373. Il primo di questi lavori si richiamerà con N ed il secondo con M. Per le nozioni di curva γr, s e diE u di γr, s di unaV k, rimando ai suddetti lavori.Google Scholar
  2. (2).
    Villa, N, n. 1.Google Scholar
  3. (3).
    Un sistema d'equazioni (lineari, omogenee, alle derivate parziali) dicesi, conBompiani, acaratteristica quando i coni che si possono associare alle singole equazioni del sistema si spezzano tutti in un iperpiano fisso e nella parte residua variabile da equazione ad equazione. Si veda:Bompiani, Sistemi di equazioni simultanee alle derivate parziali a caratteristica, « Atti dell'Accademia di Torino », vol. 49, pp. 84, 113; 1913. Questo lavoro si richiamerà con A.Google Scholar
  4. (4).
    Villa, Proprietà differenziale caratteristica dei coni proiettanti le varietà che rappresentano la totalità delle quadriche di uno spazio lineare, « Rendiconti dell'Accademia dei Lincei », vol. XXVIII, ser. 6a, p. 3, 1938. Questo lavoro si richiamerà con P.Google Scholar
  5. (5).
    Si veda specialmente N, nn. 7, 8.Google Scholar
  6. (6).
    Bompiani, A, p. 127.Google Scholar
  7. (7).
    Villa, N, n. 2.Google Scholar
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    Villa, N. Google Scholar
  9. (9).
    Bompiani, A, pp. 84, 113.Google Scholar
  10. (10).
    Per il calcolo su queste matrici e avvertenze relative, si veda:Bompiani, Proprietà differenziali caratteristiche di enti algebrici, « Memorie dell'Accademia dei Lincei », vol. XIII, ser. 5a, p. 455, 1922.Google Scholar
  11. (15).
    Villa, P, p. 3.Google Scholar
  12. (20).
    Villa, P, p. 6.Google Scholar
  13. (22).
    Villa, P, p. 6.Google Scholar
  14. (30).
    Bompiani, Sullo spazio d'immersione di superficie possedenti dati sistemi di curve, « Rendiconti dell'Istituto Lombardo », vol. 47, p. 192, 1914.zbMATHGoogle Scholar
  15. (31).
    È qui ρ0=4 (cfr. n. 7). Infatti non può essere ρ=3 perchè una tale superficie soddisfa a due equazioni diLaplace e quindi almeno a tre equazioni di 3° ordine (lin. indip.), mentre una superficie che possiede ∞2 γ2, 4 soddisfa, per il teorema del n. 6, al più a ν=2 equazioni del 3° ordine.Google Scholar
  16. (32).
    Villa, M, n. 34.Google Scholar
  17. (37).
    Si vedaVilla, N, n. 5.Google Scholar
  18. (38).
    Il numero ρ0 si sa calcolare (cfr. n. 7).Google Scholar
  19. (39).
    Bompiani, A.Google Scholar
  20. (40).
    Villa, N, M, P.Google Scholar
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    Bompiani, A, p. 126.Google Scholar
  22. (43).
    Villa, N, n. 9.Google Scholar
  23. (48).
    Indichiamo con θ3 la sezione iperpiana generica dellaV 46 diS 8 diSegre rappresentante le coppie di punti di due piani.Google Scholar
  24. (49).
    Ho indicato con Φ4 laV 4 dell'S 8 situata sopra il cono diVeronese (dell'S 8) incontrata dagliS 3 del cono in superficie; e Φ3 è una sezione iperpiana generica di Φ4. Avrebbe un certo interesse vedere se la proprietà b) si puô estendere (e entro quali limiti) alle varietà assai più generali Φkr, ν considerate in un mio lavoro recente:Sulle varietà situate sui coni proiettanti la \(V_r^{2^r } \) che rappresenta la totalità delle quadriche di Sr, Note I e II, « Rendiconti dell'Accademia dei Lincei », vol. XXVIII, ser. 6a, 1938, pp. 365, 395.Google Scholar
  25. (50).
    Villa, P, p. 11.Google Scholar
  26. (51).
    Perr=3,i=1, questo teorema rientra nel risultato c).Google Scholar
  27. (52).
    Scorza, Sopra una certa classe di varietà razionali, « Rend. del Circolo Matematico di Palermo », vol. 28, 1909, p. 400.zbMATHGoogle Scholar
  28. (54).
    Pern=3 si veda:Bompiani, A, p. 126.Google Scholar
  29. (55).
    Naturalmente una volta risolto il problema sulle quasi-asintotiche, bisognerà ricercare fra leV k trovate quelle che posseggono la totalità Ω di curve diS q.Google Scholar
  30. (56).
    C. Segre, Le superficie degli iperspazi con una doppia infinità di curve piane o spaziali, Note I e II, « Atti dell'Accademia di Torino », vol. 56, p. 157, 1921.Google Scholar
  31. (57).
    C. Segre, op. cit., p. 145. Fra i casi di superficie che posseggono ∞2 curve piane, ilSegre considerò ivi quello di una coppia di coni aventi lo stesso vertice; questo caso non si deve naturalmente considerare se si escludono le varietàriducibili. Cfr. pure:Bertini,Introduzione alla geometria proiettiva degli iperspazi, 2a ed., Messina, Principato, 1923, p. 393.Google Scholar
  32. (58).
    Nell'S k+2, perk=2 si hanno proiezioni della superficie diVeronese e perk > 2 i coni che le proiettano (e quindi, in definitiva, ancora coni diVeronese).Google Scholar
  33. (59).
    Villa, P, p. 11.Google Scholar
  34. (60).
    Villa, M, n. 28.Google Scholar
  35. (61).
    L'idea di caratterizzare enti algebrici, in particolare le varietà diSegre e le varietà diGrassmann, mediante curve quasi-asintotiche (a cui si collegano le considerazioni del testo) è diBompiani. Si vedano (oltre i lavori già citati) gliAtti del Primo Congresso dell'Unione Matematica Italiana, Bologna, Zanichelli, pp. 97, 98; 1938.Google Scholar

Copyright information

© Nicola Zanichelli Editore 1939

Authors and Affiliations

  • Mario Villa
    • 1
  1. 1.Milano

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