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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 18, Issue 1, pp 173–200 | Cite as

Sui teoremi di reciprocità nei fenomeni dipendenti dal tempo

  • Dario Graffi
Article

Sunto

Si estendono, sotto opportune ipotesi, i teoremi di reciprocità diBetti eMaxwell alla dinamica dei corpi elastici e i teoremi diLorentz-Sommerfeld nell'elettromagnetismo a fenomeni non sinoidali. Vengono anche stabiliti teoremi di reciprocità per la trasmissione del calore non stazionaria. I resultati sono conseguiti mediante sistematica applicazione della trasformazione diLaplace.

Literatur

  1. (1).
    I principali teoremi di reciprocità stabiliti in Italia sono ottimamente esposti nella comunicazione delPuppini al Congresso Internazionale dei Matematici di Toronto, 1924, vol. II dei « Proceedings », pag. 429. Il prof.Lelli (« Annali di Matematica pura e applicata », serie IV, tomo III, pag. 133, 1925) ha dimostrato come i teoremi di reciprocità più noti possono farsi discendere da alcune equazioni fondamentali da lui stabilite.Google Scholar
  2. (2).
    Il teorema di reciprocità sulle acque filtranti (incompressibili) dovuti alPuppini per quanto mi consta è l'unico valido tanto se il moto delle acque dipende dal tempo quanto nel caso contrario. Ma qui si presenta la fortunata circostanza che le equazioni differenziali che reggono il fenomeno sono indipendenti dal tempoGoogle Scholar
  3. (1).
    Non è escluso però che in qualche caso, anche questi teoremi possano rendere utili servigi. Così il teorema di reciprocità esteso alla trasmissione del calore non stazionaria ha permesso alPuppini (« Monitore Tecnico » 1916) di ottenere interessanti risultati sulla trasmìssione del calore nelle condotte in pressione.Google Scholar
  4. (2).
    Vol. I, pp. 134–35, 150 e segg. È da notare che tutti i teoremi sono provati per sistemi discreti e sono enunciati senza dimostrazione per sistemi continui. L'ultimo teorema che veramente vale anche per fenomeni non periodici, non è provato dall'Illustre Scienziato e sarà da noi dimostrato più innanzi.Google Scholar
  5. (3).
    Le correnti alternative e la legge di reciprocità, « Rendiconti dell'Accademia delle Scienze di Bologna », 1917. Memorie e note Scientifiche (Bologna, Zanichelli, 1925), pag. 261.Google Scholar
  6. (4).
    Riemann-Weber,Differential Gleichungen der Physik, (1927), vol. II, pag. 575.Google Scholar
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    « Bell System Technical Journal », 1924, pag. 393.Google Scholar
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    « Rendiconti Lincei », 1937, I sem., pag. 586.Google Scholar
  9. (7).
    W. Alexander, (Het Reciprocteitstheorema in de electricitet, « Tijdscrift von het Nederlandisch Radio geneatscap », 5, 69, 1931) ha studiato con l'integrale diFourier alcuni teoremi di reciprocità nell'elettromagnetismo ma, se interpreto bene questo lavoro scritto in lingua olandese, senza preoccupazioni di rigore.Google Scholar
  10. (1).
    Burgatti,Teoria Matematica della elasticità, Bologna, Zanichelli, 1931, pag. 133. In seguito questo volume verrà indicato con « T. M. E. ». È opportuno aggiungere che noi supporremo il corpo vincolato, o che il suo moto sia relativo ad un opportuno sistema di riferimento, così da potere escludere un moto rigido globale del corpo stesso. In altre parole supporremo che se il corpo fosse rigido le forze applicate lo manterrebbero in una posizione di equilibrio rispetto s'intende al nostro riferimento. Ammetteremo inoltre ρ,l, m variabili con continuità. Ciò per evitare qualche complicazione tanto più che il caso di ρ,l, m variabili con discontinuità si può considerare caso limite di quello che ora trattiamo.Google Scholar
  11. (3).
    Cioè noi intendiamo che le derivate seconde siano continue ad eccezione di alcune superfici dello spazio-tempoC costituito da valori di (x, y, z) compresi entrov e dagli istantit fra (0, ∞). Supporremo però queste superfici siano in numero finito in ogni pezzo diC o meglio : che si possa dividere ogui pezzo finito diC in un numero finito di parti in cui le derivate seconde di S siano continue. Ammetteremo poi il contorno di questi campi che è formato dalle superfici di discontinuità in discorso sia incontrato in due punti al più da una retta parallela all'asse dellet. Ciò equivale in sostanza ad ammettere l'ipotesi, ben intuitiva dal punto di vista fisico, che in un puntoP div passi, in un intervallo di tempo finito un numero finito di superfici di discontinuità. Notiamo che questa ipotesi è giustificata dal fatto che le superfici di discontinuità coincidendo con le caratteristiche sono, come discende dalle ricerche delLampariello (Propagazione delle onde nei mezzi elastici isotropi anche non omogenei, « Rendiconti Lincei », 1931, 1o sem., pag. 856) variabili col tempo, sicchè una superficie caratteristica non può rimanere fissa in un puntoP.Google Scholar
  12. (1).
    Cfr.Burgatti, « T. M. E. », pagg. 151–152 e pag. 168 e segg..Google Scholar
  13. (2).
    L'integrale ora scritto rappresenta una funzione analitica regolare nel semipiano positivo dellep (anzi una funzione intera perchè set >k G(t)=0) che non è identicamente nulla, altrimenti lo sarebbe ancheG(t). Quindi l'integrale in discorso avrà almeno, nel semipiano positivo, solo zeri isolati e la (16) varrà perciò per ognip con parte reale positiva.Google Scholar
  14. (1).
    A rigore, siccome sul gas jonizzato agisce il campo magnetico terrestre, lav(t−τ) andrebbe sostituita da una omografia. Sembra anzi che la parte dilatazione di questa omografia rimanga invariata invertendo il verso del campo magnetico, mentre cambia di segno la parte assiale. E da questa proprietà sarebbe possibile stabilire un teorema di reciprocità valido anche sul gas agisce un campo magnetico (cfr. per es. la mia Nota:Sul teorema di reciprocità della radiotelegrafia, « Bollettino dell'Unione Matematica Italiana », 1929). Per semplicità trascureremo però l'influenza del campo magnetico terrestre, osservando che in base alle ricerche ora citate sarebbe facile tenerne conto. Trascureremo poi i fenomeni di tipo non lineare come l'effetto Lussemburgo.Google Scholar
  15. (2).
    Analogamente in capitoli precedenti supporremo ɛ, σ, μ, ν variabili con continuità.Google Scholar
  16. (3).
    Cfr.G. Doetsch,Theorie und anwendung der Laplace-Transformation, Springer, 1937, pag. 162.Google Scholar
  17. (1).
    Cfr.T. Eckersley, « Proceedings Institute Electrical Engeeneer », 1927;D. Graffi, « Nuovo Cimento », 1932;G. Latmiral, « Alta Frequenza », 1938.Google Scholar
  18. (1).
    Cfr.Ballantine, « Proceedings Radio Engeeneers », 1928.Google Scholar

Copyright information

© Nicola Zanichelli Editore 1939

Authors and Affiliations

  • Dario Graffi
    • 1
  1. 1.Bologna

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