Advertisement

Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 18, Issue 1, pp 147–171 | Cite as

Sulla classificazione proiettiva delle varietà a superficie-sezioni razionali

  • Ugo Morin
Article

Sunto

Delle varietà algebricheM r (n) (adr≥3 dimensioni e di ordinen) a superficie-sezioni razionali si danno i tipi proiettivamente distinti e si verifica che(pern≠3) sono razionali. I relativi sistemi lineari rappresentativi forniscono tutti i sistemi lineari(semplici e di grado≠3) cremonianamente distinti di ipersuperficie di uno spazio lineare, a superficie-caratteristica razionale; in particolare perr=3 i sistemi lineari di superficie razionali dello spazio ordinario.

Literatur

  1. (1).
    Enriques F., Sui sistemi lineari di superficie algebriche ad intersezioni variabili iperellittiche [« Math. Annalen », Bd. 46 (1896)] pagg. 179–199; ove sono anche raccolti risultati diNoether, Segre, Bertini, Guccia, Jung, Martinetti, Picard, Del Pezzo, Castelnuovo.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  2. (2).
    Scorza Gaetano, Le varïetà a curve-sezioni ellittiche [« Annali di Mat. », t. 15 (3), (1908)], pagg. 217–273.zbMATHGoogle Scholar
  3. (3).
    Fano G., Sulle varietà algebriche a tre dimensioni a superficie-sezioni rezionali, [« Annali di Mat. », t. 24 (3), (1915)], pagg. 49–88.zbMATHGoogle Scholar
  4. (4).
    Fano, loc. cit., (3), n. 1.zbMATHGoogle Scholar
  5. (5).
    Enriques, loc. cit., (1), n. 9 e per la successiva rappr. nell'S 3 il n. 10.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  6. (6).
    ChiameremoS t-cono diVeronese il cono che si ottiene proiettando da unS t, indipendente da unS 5, una superficie diVeronese contenuta nell'S 5. PerS 0-cono diremo semplicemente cono.Google Scholar
  7. (7).
    Noether M., Ueber Flächen welche Schaaren rationaler Curven besitzen [« Math. Annalen », Bd. 3 (1871)], pagg. 161–227.CrossRefGoogle Scholar
  8. (8).
    Enriques F.,Sulle irrazionalità da cui può farsi dipendere la risoluzione d'un'equazione algebrica f(x, y, z)=0con funzioni razionali di due parametri [« Math. Annalen », Bd. 49 (1897)].Google Scholar
  9. (9).
    Enriques, loc. cit., (1), n. 20. Che la nostraM 3 possa essere un fascio ellittico di piani è escluso dall'ipotesi che la superficie-sezione sia razionale.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  10. (10).
    Enriques, loc. cit., (1), n. 12.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  11. (11).
    Enriques, loc. cit., (8), n. 8.Google Scholar
  12. (12).
    Severi F., Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche [« Rendiconti del Circolo Mat. di Palermo », t. 28 (1909)], pagg. 32–87.Google Scholar
  13. (13).
    Se |C(v)| è un fascio di cnrve ellittiche, laF si può rappresentare nel piano in modo che a |C(v)| corrisponda un fascio di cubiche. Quindi al sistema |C(v−1)| corrisponde il sistema ∞3 delle sestiche con 8 punti-base doppi, composto con un'involuzioneI 2 [Enriques, loc. cit., (2), n. 5,Fano, loc. cit., (3), n. 6]. Nè possono essere le |C(v)| composte con curve ellittiche di un fascio, poichè nel piano i corrispondenti gruppi di cubiche di un fascio si comporterrebbero rispetto i punti-base come un fascio diHalphen, che non può essere un sistema aggiunto. Ses=2 eC(v) sono ellittiche, nella rappresentazione piana dellaF a |C(v)| si può far corrispondere una rete di cubiche.Google Scholar
  14. (14).
    Enriques, loc. cit., (1), n. 22. Si osservi che in questo ultimo caso la dimensione del sistema di quadriche non può essere >1, per l'ipotesi che il genere della curva sezione sia π > 1.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  15. (15).
    Severi F., Sulle varietà che rappresentano gli spazi subordinati di data dimensione, immersi in uno spazio lineare [« Annali di Mat. », t. 24 (3), (1915)], pagg. 89–120 (pag. 91).zbMATHGoogle Scholar
  16. (16).
    Vedi cit. (13).Google Scholar
  17. (17).
    Vedi cit. (13).Google Scholar
  18. (18).
    Infatti poichè il sistema |F+(v−1)F′| ha almeno la dimensione 3 (n. 6) la (F+(v−1)F′) èregolare | in base ad un noto teorema diCastelnuovo-Enriques, Sur les intégrales simples de premiére espéce d'une surface ou d'une varieté algebriques à plusieurs dimensions [« Annales Sc. de l'École Naz. sup. » (Paris), t. 23 (3), (1906), pagg. 339–366]| e una sua eventuale biaggiunta, (2vF′), sarebbe una 2v-aggiunta dellaF.Google Scholar
  19. (19).
    Castelnuovo G.,Sulle snperficie algebriche le cui sezioni sono curve di genere 3 [« Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino », t. 25 (1890)], n. 7.Google Scholar
  20. (20).
    Fano, loc. cit., (3), n. 8.zbMATHGoogle Scholar
  21. (21).
    Vedi cit. (13).Google Scholar
  22. (22).
    Vedi cit. (18). Infatti poichè il sistema |F+(v−1)F′| ha almeno la dimensione 3 (n. 6) la (F+(v−1)F′) èregolare | in base ad un noto teorema diGoogle Scholar
  23. (23).
    Fano, loc. cit., (3), n. 14; ove è dimostrato in modo diretto ma laborioso che il sistema |F+F′| nen può essere composto con un'involuzione di punti.zbMATHGoogle Scholar
  24. (24).
    Vedi cit. (13).Google Scholar
  25. (25).
    Fano, loc. cit., (3), n. 9.zbMATHGoogle Scholar
  26. (26).
    Enriques-Campedelli,Lezioni sulla teoria delle superficie algebriche [Cedam, Padova 1932], pagg. 371, 382.Google Scholar
  27. (27).
    Fano, loc. cit., (3), n. 9; dove si fa uno studio esauriente di questa varietà, del quale qui do un sunto.zbMATHGoogle Scholar
  28. (28).
    Enriques, lec. cit., (3), n. 11.Google Scholar
  29. (29).
    Noether, loc. cit., (8).Google Scholar
  30. (30).
    Enriques, loc. cit., (9), n. 9.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  31. (31).
    Scorza, loc. cit., (1), (qui si esclude il fascio ellittico diS r−1 per il fatto che la superficie-sezione è razionale).Google Scholar
  32. (33).
    Morin U.,Un problema d'analisi indeterminata di terzo grado [« Bollettino dell'Unione Matematica Italiana », t. 1 (2), 1939].Google Scholar
  33. (34).
    A questa conclusione si può arrivare direttamente applicando un teorema delloScorza G., Su una certa classe di varietà razionali [« Rendiconti del Circolo Mat. di Palermo », t. 28 (1909), pagg. 400–401] in cui si afferma chese le sezioni di una \(M_{r + 1}^{n^r } \) di \(S_{\left( {\begin{array}{*{20}c} {n + r} \\ r \\ \end{array} } \right) + i - 1} \) con gli \(S_{\left( {\begin{array}{*{20}c} {n + r} \\ r \\ \end{array} } \right) - 1} \) dello spazio ambiente sono delle \(M_r^{n^r } \) rappresentate sopra un Sr dal sistema lineare di tutte le sue forme d'ordine nallora la \(M_{r + i}^{n^r } \) è un Si−1-cono proiettante dal vertice una cosiffatta \(M_r^{n^r } \).zbMATHGoogle Scholar
  34. (35).
    Scorza, loc. cit., (32).Google Scholar

Copyright information

© Nicola Zanichelli Editore 1939

Authors and Affiliations

  • Ugo Morin
    • 1
  1. 1.Padova

Personalised recommendations