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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 80, Issue 1, pp 235–279 | Cite as

On permutation groups

  • Olaf Tamaschke
Article

Keywords

Permutation Group 
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Riassunto

Diese Arbeit versucht, die Theorie der Permutationsgruppen vom « kategoriellen » Standpunkt aus zu betrachten. Es werden in naheliegender Weise der Begriff der Permutationsstruktur und der Begriff des Homomorphismus einer Permutationsstruktur eingeführt (Abschnitt 1). In der so entstehenden Kategorie aller Permutationsstrukturen werden die Homomorphismen klassifiziert gemä ihrem Verhalten gegenüber den Wielandtschen G-Relationen und den Bahnen der Stabilisatoren von endlich vielen Ziffern (Abschnitt 3). Jedem Homomorphismus wird sein Grad zugeordnet (Abschnitt 4). Diese Begriffsbildungen stehen in engem Zusammenhang mit einer Verallgemeinerung des Normalteilerbegriffes der Gruppentheorie. Zu jeder natürlichen Zahl n und zu jeder Untergruppe H einer Gruppe G wird der Begriff der n-fach G/H-normalen Untergruppe eingeführt (Abschnitt 7). Für homogene Räume gilt ein Homomorphiesatz (Theorem 8.5) analog zum Homomorphiesatz der Gruppentheorie; er besagt unter anderem, daß der Kern eines n-fachen Homomorphismus eines homogenen Raumes eine (n-1)-fach G/Gα-normale Untergruppe von G ist (wobei Gα der Stabilisator einer Ziffer α ist). Es gilt auch die Umkehrung dieses Satzes in dem Sinne, daß jede (n-1)-fach G/H-normale Untergruppe K einer Gruppe G Kern eines n-fachen Homomorphismus des durch die Nebenklassen Hg, g ε G, definierten homogenen Raumes auf den durch die Nebenklassen Kg, g ε G, definierten homogenen Raum ist (Theorem 8.6). Ferner gelten ein Erster und ein Zweiter Isomorphiesatz für homogene Räume (Theoreme 10.1 und 10.2).

Auf den Begriff der n-fach G/H-normalen Untergruppe gründet sich der Begriff der n-fach G/H-subnormalen Untergruppe (Definition 11.1). Es läßt sich unter anderem ein Jordan-Hölder-Satz für 1-fache G/H-Kompositionsketten beweisen, wobei die Kompositionsfaktoren homogene Räume sind (Theorem 11.10).

Im letzten Abschnitt 12 wird gezeigt, daß die von den zweiseitigen Nebenklassen Gα g Gα, g ε G, erzeugte Halbgruppe G/Gα für den zugehörigen homogenen Raum die Bedeutung einer Art von «Endomorphismenring» besitzt.

Die Klasse [G/Gα] aller zu G/Gα isomorphen zweiseitigen Nebenklassen Halbgruppen wird der Typ des homogenen Raumes genannt (Definition 12.17). Dieser Begriff liefert eine Klassifizierung der homogenen Räume, bei der die 2-fachen Homomorphismen eine Rolle spielen (Theoreme 12.19, 12.20, 12.22).

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Copyright information

© Nicola Zanichelli Editore 1968

Authors and Affiliations

  • Olaf Tamaschke

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