Reliable Computing

, Volume 1, Issue 3, pp 251–263

# A general iterative sparse linear solver and its parallelization for interval Newton methods

• Chenyi Hu
• Anna Frolov
• R. Baker Kearfott
• Qing Yang
Mathematical Research

## Abstract

Interval Newton/Generalized Bisection methods reliably find all numerical solutions within a given domain. Both computational complexity analysis and numerical experiments have shown that solving the corresponding interval linear system generated by interval Newton's methods can be computationally expensive (especially when the nonlinear system is large).

In applications, many large-scale nonlinear systems of equations result in sparse interval jacobian matrices. In this paper, we first propose a general indexed storage scheme to store sparse interval matrices We then present an iterative interval linear solver that utilizes the proposed index storage scheme It is expected that the newly proposed general interval iterative sparse linear solver will improve the overall performance for interval Newton/Generalized bisection methods when the jacobian matrices are sparse. In section 1, we briefly review interval Newton's methods. In Section 2, we review some currently used storage schemes for sparse systems. In Section 3, we introduce a new index scheme to store general sparse matrices. In Section 4, we present both sequential and parallel algorithms to evaluate a general sparse Jacobian matrix. In Section 5, we present both sequential and parallel algorithms to solve the corresponding interval linear system by the all-row preconditioned scheme. Conclusions and future work are discussed in Section 6.

# Обобщенныи итеративный линейный решателй для разреженных систем и его параллелизация для интервальных методов Ньютона

## Abstract

Интервальный метод Ньютона и обобщенный метод половинного деления гарантированно находят все численные решения в заланной области. Как анализ вычислительной сложности, гак и численные зксперимемты показали, что решение соответствующей интервальной линейной системы, полученной интервальными методами Ньютона, может потребовать значительного объема вычислений (особенно если нелинейная система велика по размерам)

На практике системы нелинейных уравнений большой размерности нередко сводятся к разреженным интервальным матрицам Якоби. В настоящей работе предлагается обобщенная индексированная схема памяти для хранения разреженных интервальных матриц, а затем вводится итеративный интервальный линейный решатель, пснользуюший эту схему Ожидается, что предложенный обобшенный итеративный итеративный интервальный линейный решатель повысит обшую производительность методов Ньютона и обобщенного метода половинного деления для разреженных матриц Якоби В разделе 1 кратко описаны интервальные методы Ньютона. В разделе 2 рассматриваются некоторые используемые в настоящее время схемы памяти для разреженных систем В

## Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

### References

1. [1]
Dongarra, J. et l.Solving linear systems on vector and shared memory computers. SIAM, 1991.Google Scholar
2. [2]
Duff, I.Direct methods for sparse matrices. Oxford University Press, 1986.Google Scholar
3. [3]
Duff, I.Sparse matrix test problems, ACM Trans. Math. Software 15 (1) (1989), pp. 1–14.
4. [4]
Gan, Q., Yang, Q., and Hu, C.parallel all-row preconditioned interval linear solver for nonlinear equations on multiprocessor. Parallel computing 20 (9) (1994) pp. 1249–1268.
5. [5]
Hansen, E. R. and Sengupta, S.Bounding solutions of systems of equations using interval arithmetic. BIT 21 (1981), pp. 203–211.
6. [6]
Hu, C., Bayoumi, M., Kearfott, R. B., and Yang, Q.A parallelized algorithm for all-row preconditioned interval Newton/generalized bisection method. In: “Proc. SIAM 5th Conf. on Paral. Proc. for Sci. Comp.”, SIAM, 1991, pp. 205–209.Google Scholar
7. [7]
Kearfott, R. B.Abstract generalized bisection and a cost bound. Math. Comp.49 (179) (1987), pp. 187–202.
8. [8]
Kearfott, R. B.Some tests of generalized bisection. ACM Trans. Math. Software13 (3) (1987), pp. 197–220.
9. [9]
Kearfott, R. B., Hu, C., and Novoa, M.A review of preconditioners for the interval Gauss-Seidel method. Interval Computations 1 (1991), pp. 59–85.
10. [10]
Kearfott, R. B. and Novoa, M.A program for generalized bisection. ACM Trans. Math. Software16 (2) (1990), pp. 152–157.
11. [11]
Knuth, D.The art of computer programming, Vol. 1, Fundamental algorithms. Addison-Wesley, 1968.Google Scholar
12. [12]
PCGPAK user's guide. Scientific Computing Associates, New Haven.Google Scholar
13. [13]
Press, W. et al.Numerical recipes. Cambridge, 1992.Google Scholar
14. [14]
Schnepper, C. and Stadther, M.Application of a parallel interval Newton/generalized bisection algorithm to equation-based chemical process flowsheeting. Interval Computations 4 (1993), pp. 40–64.Google Scholar

© Institute of New Technologies in Education 1995

## Authors and Affiliations

• Chenyi Hu
• 1
• Anna Frolov
• 1
• R. Baker Kearfott
• 2
• Qing Yang
• 3
1. 1.Department of Computer and Mathematical SciencesUniversity of Houston-DowntownHoustonUSA
2. 2.Department of MathematicsUniversity of Southwestern LouisianaLafayetteUSA
3. 3.Department of Electrical and Computer EngineeringUniversity of Rhode IslandKingtsonUSA