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Three methods for refining estimates of invariant subspaces

Drei Verfahren für die Verbesserung von Annäherungen von invarianten Unterräumen

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Abstract

We compare three methods for refining estimates of invariant subspaces, due to Chatelin, Dongarra/Moler/Wilkinson, and Stewart. Even though these methods all apparently solve different equations, we show by changing variables that they all solve the same equation, the Riccati equation. The benefit of this point of view is threefold. First, the same convergence theory applies to all three methods, yielding a single criterion under which the last two methods converge linearly, and a slightly stronger criterion under which the first algorithm converges quadratically. Second, it suggest a hybrid algorithm combining advantages of all three. Third, it leads to algorithms (and convergence criteria) for the generalized eigenvalue problem. These techniques are compared to techniques used in the control systems community.

Zusammenfassung

In diesem Bericht werden drei Verfahren von Chatelin, Dongarra/Moler/Wilkinson und Stewart für die Verbesserung von Annäherungen von invarianten Unterräumen verglichen. Durch das Wechseln von Variablen zeigen wir, daß, obwohl die drei Verfahren anscheinend unterschiedliche Gleichungen lösen, in Wirklichkeit die gleiche Gleichung gelöst wird, die Riccati-Gleichung. Diese Analyse hat drei Vorteile. Zuerst liefert sie eine gemeinsame Konvergenzbedingung, die die lineare Konvergenz der ersten zwei Verfahren garantiert, und eine etwas stärkere Bedingung für die quadratische Konvergenz des letzten Verfahrens. Zweitens führt sie zu einem Hybridverfahren mit den Vorteilen aller drei. Drittens liefert sie Verfahren und Konvergenzbedingungen für das allgemeine Eigenwertproblem. Diese Verfahren werden auch mit Verfahren verglichen, die für kontrolltheoretische Probleme benutzt werden.

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Demmel, J.W. Three methods for refining estimates of invariant subspaces. Computing 38, 43–57 (1987). https://doi.org/10.1007/BF02253743

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AMS Primary

  • 65F15
  • AMS Secondary
  • 65H10

Key words

  • invariant subspace
  • iterative refinement
  • generalized eigenvalue problem