Computing

, Volume 30, Issue 1, pp 77–89

Modifikationen des Pollard-Algorithmus

  • R. Gold
  • J. Sattler
Article

Zusammenfassung

Bei Eingabe vonn erzeugt der Pollardsche Faktorisierungsalgorithmus durch
$$x_0 : = 2;x_{i + 1} : = x_i^2 - 1(\bmod n),i = 1,2,3,...$$
eine Folge in ℤn. Der Algorithmus bildet mit festemm∈[logn, n1/4] die größten gemeinsamen Teiler
$$ggT(\prod _{i = km + 1}^{km + m} (x_{2i} - x_i ),n),k = 0,1,2,...$$
und benötigt im Mittel\(0\left( {\sqrt p } \right)\) viele Makroschritte (=Multiplikationen/Divisionen in ℤn), um den Primfaktorp vonn aufzufinden. Wir haben den Pollard-Algorithmus unter Verwendung modifizierter Iterationsformeln
$$x_{i + 1} = b \cdot x_i^\alpha + c(\bmod n),i = 1,2,...$$
mitx0,b,c,α∈ℕ und α≥2 ausgewertet. Die experimentellen Daten zeigen, daß die modifizierten Versionen im Falle ggT(α,p-1)≠1 im Mittel
$$0\left( {\sqrt {\frac{p}{{ggT(\alpha ,p - 1}}} } \right)$$
viele Makroschritte zum Auffinden des Primfaktorsp vonn benötigen.

Modifications of the Pollard algorithm

Abstract

The factorization algorithm of Pollard generates a sequence in ℤn by
$$x_0 : = 2;x_{i + 1} : = x_i^2 - 1(\bmod n),i = 1,2,3,...$$
wheren denotes the integer to be factored. The algorithm finds an factorp ofn within\(0\left( {\sqrt p } \right)\) macrosteps (=multiplications/divisions in ℤn) on average. An empirical analysis of the Pollard algorithm using modified sequences
$$x_{i + 1} = b \cdot x_i^\alpha + c(\bmod n),i = 1,2,...$$
withx0,b,c,α∈ℕ and α≥2 shows, that a factorp ofn under the assumption gcd (α,p-1)≠1 now is found within
$$0\left( {\sqrt {\frac{p}{{ged(\alpha ,p - 1}}} } \right)$$
macrosteps on average.

AMS Subject Classification (1980)

10A25 68C25 

Key words

Calculation factorization of integers 

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Copyright information

© Springer-Verlag 1983

Authors and Affiliations

  • R. Gold
    • 1
  • J. Sattler
    • 1
  1. 1.Institut für Angewandte MathematikGoethe-UniversitätFrankfurt/MainBundesrepublik Deutschland

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