Computing

, Volume 18, Issue 3, pp 241–248 | Cite as

Estimating errors of numerical approximation for periodic analytic functions

  • M. M. Chawla
  • R. Kress
Article
  • 34 Downloads

Abstract

We give a simple method based on Cauchy's integral formula for estimating the errors of numerical approximation for periodic analytic functions. We then obtain error estimates for the quadrature formulas of Chawla and Ramakrishnan [1] for the numerical evaluation of the Cauchy principal value integral
$$I\left( {f;a} \right) = \int\limits_0^{2\pi } {f(x)\cot \left( {\left( {x - a} \right)/2} \right)dx,} $$
and for the quadrature formula of Garrick [2] for the evaluation ofI (f;o), Based on these error estimates, we are led to conclude that for the evaluation ofI (f;o), Garrick's formula has a better error estimate than the formula of Chawla and Ramakrishnan with the same number of function evaluations. Finally, we extend Garrick's formula for the evaluation ofI (f;a) for arbitrarya∈[0,2π); the extended formula has, for alla, the same error estimate as Garrick's formula. While, for a=xj, the extended formula is identical with the quadrature formula of Wittich [3], foraxj, the extended formula is much better in that it uses only half the number of function evaluations of Wittich's formula for the same accuracy.

Fehlerabschätzungen für numerische Approximationen bei periodischen analytischen Funktionen

Zusammenfassung

Ausgehend von der Cauchyschen Integralformel beschreiben wir ein einfaches Verfahren zur Fehlerabschätzung für numerische Approximationen bei periodischen analytischen Funktionen. Anschließend werden Fehlerabschätzungen angegeben für die Quadraturformel nach Chawla und Ramakrishnan [1] zur numerischen Berechnung des Cauchyschen Hauptwerts
$$I\left( {f;a} \right) = \int\limits_0^{2\pi } {f(x)\cot \left( {\left( {x - a} \right)/2} \right)dx,} $$
unf für die Quadraturformel nach Garrick [2] für die Berechnung vonI f; o). Dabei ergeben sich für die Garricksche Formel günstigere Fehlerschranken als für die Formel von Chawla und Ramakrishnan. Schließlich betrachten wir eine Erweiterung der Garrickschen Formel zur Berechnung vonI(f;a) für beliebigesa∈[0,2 π), welche für allea die gleiche Fehlerschranke hat. Während füra=xj die erweiterte Formel mit der Quadraturformel nach Wittich [3] übereinstimmt, ist sie füraxj vorteilhafter, weil sie für die gleiche Genauigkeit nur die Hälfte an Funktionsauswertungen benötigt gegenüber der Wittichschen Formel.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. [1]
    Chawla, M. M., Ramakrishnan, T. R.: Numerical evaluation of integrals of periodic functions with Cauchy and Poisson type kernels. Numer. Math.22, 317–323 (1974).CrossRefGoogle Scholar
  2. [2]
    Garrick, I. E.: Conformal mapping in aerodynamics with emphasis on the method of successive conjugates. Nat. Bur. Standards Applied Math. Ser.18, 137–147 (1952).Google Scholar
  3. [3]
    Wittich, H.: Bemerkungen zur Druckverteilungsberechnung nach Theodorsen-Garrick. Jahrb. dtsch. Luftfahrt-Forsch.1941, 152–157.Google Scholar
  4. [4]
    Kress, R.: Ein ableitungsfreies Restglied für die trigonometrische Interpolation periodischer analytischer Funktionen. Numer. Math.16, 389–396 (1971).CrossRefGoogle Scholar
  5. [5]
    Kress, R.: Zur numerischen Integration periodischer Funktionen nach der Rechteckregel. Numer. Math.20, 87–92 (1972).CrossRefGoogle Scholar
  6. [6]
    Chawla, M. M.: Estimating errors of numerical approximation for analytic functions. Numer. Math.16, 370–374 (1971).CrossRefGoogle Scholar
  7. [7]
    Kress, R.: Über die numerische Berechnung konjugierter Funktionen. Computing10, 177–187 (1972).CrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1977

Authors and Affiliations

  • M. M. Chawla
    • 1
  • R. Kress
    • 2
  1. 1.Department of MathematicsIndian Institute of TechnologyNew DelhiIndia
  2. 2.Institut für Numerische und Angewandte MathematikUniversität GöttingenGöttingenFederal Republic of Germany

Personalised recommendations