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, Volume 18, Issue 1, pp 37–50 | Cite as

A Fourier series kernel based on Chebyshev polynomials

  • E. Rietsch
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Abstract

In most cases evaluation of Fourier series requires that special summation methods be applied or that the coefficients of the series be suitably modified to suppress strong oscillations at discontinuties of the approximated function. All these methods may be described as a substitution of the Dirichlet kernel by other kernels. In this paper eight of these kernels are briefly reviewed and compared with a ninth kernel which is based on Chebyshev polynominals. A closed-form representation has been derived for the Fourier coefficients of this kernel as well as a recursive relation for their practical computation. Furthermore, an error criterion is given which allows the determination of an upper bound of the difference between Fourier series and approximated function provided upper limits on both the variation and the second derivative of the latter are known.

Keywords

Fourier Computational Mathematic Fourier Series Recursive Relation Fourier Coefficient 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Über einen Fourierkern auf der Basis von Tschebysheffschen Polynomen

Zusammenfassung

Für die praktische Auswertung von Fourierreihen ist es in den meisten Fällen erforderlich, spezielle Summationsverfahren zu verwenden oder die Koeffizienten der Reihe in geeigneter Weise zu modifizieren, um starke Oszillationen der Fourierreihen an Diskontinuitäten der approximierten Funktion zu unterdrücken. Alle diese Verfahren lassen sich als ein Ersetzen des Dirichletkerns durch andere Kerne beschreiben. In dieser Arbeit werden acht dieser Kerne kurz besprochen und mit einem neunten, auf den Tschebyscheffschen Polynomen beruhenden Kern verglichen. Für die Fourierkoeffizienten dieses Kerns wurde sowohl eine Darstellung in geschlossener Form als auch eine für ihre praktische Berechnung geeignetere rekursive Beziehung abgeleitet. Weiters wird ein Fehlerkriterium angegeben, das es gestattet, eine obere Grenze für die Differenz zwischen Fourierreihe und approximierter Funktion festzulegen, vorausgesetzt, daß obere Grenzen sowohl für die Schwankung als auch für die zweite Ableitung der letzteren bekannt sind.

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Copyright information

© Springer-Verlag 1977

Authors and Affiliations

  • E. Rietsch
    • 1
  1. 1.Hauptlaboratorium für ErdölgewinnungDeutsche Texaco AktiengesellschaftWietzeFederal Republic of Germany

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