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Positive Interpolationsquadraturen mit teilweise vorgeschriebenen Stützstellen

Positive interpolarity quadratures with partially preassigned nodes

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Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit werden Quadraturverfahren mit teilweise vorgeschriebenen Stützstellen beschrieben, die durch Integration eines allgemeinen, linearen, Hermiteschen Interpolationsoperators entstehen. Die nicht fest vorgeschriebenen, zunächst freien Stützstellen werden durch die Forderung festgelegt, daß im resultierenden Quadraturverfahren die zugehörigen Gewichte der Ableitungen sämtlich den Wert Null erhalten. Damit die Gewichte der Funktionenwerte positiv ausfallen, müssen zusätzliche Bedingungen gestellt werden. Wenn eine bzw. zwei Stützstelle(n) fest vorgeschrieben sind, besagen die hier angegebenen hinreichenden Positivitätsbedingungen, daß für streng monotone Basisfunktionen, die zur Konstruktion des Interpolationsoperators benötigt werden, die vorgeschriebenen Stützstellen nicht im Innern des Integrationsintervalles liegen dürfen. Als Spezialfälle sind die Quadraturverfahren von Radau und Lobatto enthalten. Auch andere Quadraturverfahren, die Stützstellen außerhalb des Integrationsintervalles haben, und die sich zum Aneinanderhängen bei großem Integrationsintervall besonders gut eignen, sind enthalten, z. T. unter ungewöhnlichen Interpolationsbedingungen. Schließlich wird dargelegt, wie man mit Hilfe von Einbettungsverfahren aus den Stützstellen von Quadraturenohne vorgeschriebenen Stützstellen die Stützstellen gleichartiger Quadraturenmit vorgeschriebenen Stützstellen berechnen kann.

Abstract

In this paper quadrature procedures with partially preassigned nodes are described. They are constructed by integration of a general, linear, hermitian, interpolating operator. Those nodes, which are not preassigned, and for the first free are fixed by the requirement, that all weights of first derivatives in these free nodes vanish in the resulting quadrature formulas. In order to get positive weights for the function-values additional conditions must be settled up. For one (ore two) preassigned node(s) the given sufficient positivity-conditions say, that the preassigned nodes are not situated in the interior of the interval of integration, e. g. for strongly monotone basic-functions which are needed in the construction of the interpolating operator. As special cases the quadratures of Radau and Lobatto are involved. Further quadratures having nodes outside the interval of integration and beeing very siutable for connected formulas for large intervals are contained, partially with unusual interpolating conditions. At last it is shown, how to obtain numerically the free nodes of quadratureswith preassigned nodes from thosewithout preassigned nodes (and vice versa) by making use of inbedding-methods.

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Literatur

  1. [1]

    Engels, H.: Über allgemeine Gaußsche Quadraturen. Computing10, 83–95 (1972).

  2. [2]

    Engels, H.: Spezielle Interpolationsquadraturen vom Gaußschen Typ (Ansorge, R., Törnig, W., Hrsg.) (Springer Tracts, Bd. 333.) Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1973.

  3. [3]

    Engels, H.: Über einige allgemeine Interpolationsoperatoren und ihre Anwendung auf Quadratur und Richardsonextrapolation. Bericht der KFA Jülich, Jül 831-MA (1972).

  4. [4]

    Natanson: Konstruktive Funktionentheorie. Akademie-Verlag.

  5. [5]

    Filippi, S.: Neue Gauß-Typ-Quadraturformeln. Habilitationsschrift, Aachen, 1964.

  6. [6]

    Ralston, A.: A family of quadrature formulas which achieve high accuracy in composite rules. J. Assoc. Comput. Mach.6, 384–394 (1959).

  7. [7]

    Lotkin, M.: A new integration procedure. J. Math. Phys.32, 171–179 (1953).

  8. [8]

    Eckhardt, U., Engels, H.: Die numerische Bestimmung von Stützstellen und Gewichten der Wilfschen Quadraturformeln. (In Vorbereitung.)

  9. [9]

    Gauss, C. F.: Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi. Omnia opera, Göttingen3, 163–196 (1866).

  10. [10]

    Christoffel, E. B.: Über die Gaußsche Quadratur und eine Verallgemeinerung derselben. J. Reine Angew. Math.55, 61–82 (1858).

  11. [11]

    Radau, R.: Etude sur les formules d'approximation qui servent à calculer la valeur numérique d'une intégrale définie. J. Math. pure appl.6, 283–336 (1880).

  12. [12]

    Lobatto, R.: Lessen over de integral-rekening. Den Haag: 1852.

  13. [13]

    Jacobi, C. G. J.: Über Gauß' neue Methode, die Werte der Integrale näherungsweise zu finden. J. Reine Angew. Math.1, 301–308 (1825).

  14. [14]

    Wilf, H. S.: Exactness conditions in numerical quadrature. Numerische Mathematik6, 315–319 (1964).

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Engels, H. Positive Interpolationsquadraturen mit teilweise vorgeschriebenen Stützstellen. Computing 13, 121–141 (1974). https://doi.org/10.1007/BF02246613

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