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Computing

, Volume 5, Issue 2, pp 144–162 | Cite as

Algebraische und metrische Strukturen in der Intervallrechnung und einige Anwendungen

  • O. Mayer
Article

Zusammenfassung

Die bei der numerischen Behandlung mathematischer Probleme auf digitalen Rechenanlagen auftretenden Rundungsfehler lassen sich, wie in [1], [6] und [8] gezeigt wird, mit Hilfe der Intervallrechnung erfassen.

In der vorliegenden Arbeit werden Struktur und Eigenschaften der in der Intervallrechnung auftretenden Räume untersucht und einige für die Intervallrechnung typische Anwendungsmöglichkeiten aufgezeigt: Die algebraische Struktur dieser Räume wird axiomatisch erfaßt in der Definition des quasilinearen Raumes, einer Verallgemeinerung des linearen Raumes; anschließend werden metrische Strukturen in diesen Räumen behandelt; da für Anwendungen nur Metriken geeignet sind, die eine gewisse Verträglichkeit mit der algebraischen Struktur besitzen, werden diesbezügliche Eigenschaften eingeführt und untersucht. Speziell für die Intervallrechnung mit Vektoren und Matrizen werden Metriken mit solchen Eigenschaften entwickelt, die dann im Zusammenspiel mit der algebraischen Struktur für Abschätzungen geeignet sind. Damit werden für gewisse Gleichungen Existenz und Eindeutigkeit der Lösung bewiesen, sowie intervallmäßige Iterationsverfahren zur Berechnung der Lösung untersucht und die Konvergenzkriterien bestimmt. Die praktische Durchführung solcher Verfahren auf einer Rechenanlage wird abschließend behandelt.

Algebraic and metric structures in interval arithmetic and applications

Summary

As in [1], [6] and [8] is shown, round-off errors in numerical computation can be controlled with the aid of the intrrval analysis.

This paper deals with the structure and the characteristics of the spaces occurring in interval analysis and presents some applications. At first the algebraic structure of these spaces is abstractly described by the definition of the quasilinear space, a generalization of the linear space. Then metric structures in these spaces are treated. As for applications only metrics are apt, which have a certain compatibility with the algebraic structure, such properties are introduced and examined. For the interval arithmetic with matrices and vectors metrics are developped, which are compatible with the algebraic structure and so are apt to estimate with. With these results for certain equations existence and uniqueness of the solution is proved as well as some iteration methods of interval analysis for the evaluation of the solution are examined and tests of convergence deduced. Finally it is shown how these iteration methods are to be carried out on a computer.

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Copyright information

© Springer-Verlag 1970

Authors and Affiliations

  • O. Mayer
    • 1
  1. 1.Institut für Angewandte Mathematik und RechenzentrumUniversität KarlsruheKarlsruheBundesrepublik Deutschland

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