Analysis Mathematica

, Volume 5, Issue 3, pp 249–255 | Cite as

Generalization of some results concerning Walsh series and the dyadic derivative

  • W. R. Wade
  • В. А. Скворцов
Article

Обобщение некоторых результатов, касающи хся рядов Уолша и двоично й производной

Abstract

Обобщаются некоторы е недавние результат ы, связанные с поточечным диффере нцированием, введенным Гибсом, Бут цером и Вагнером и предназначенным для почленного дифференцирования р ядов Уолша. Наряду с об общением, целью статьи являетс я дать существенно более простые доказа тельства обобщаемых результатов. Устанавливается, что для рядов Уолша\(\sum\limits_{k = 0}^\infty {a_k w_k (x)} \), коэффициенты которы х удовлетворяют условию
двоичная дифференци руемость суммы ряда У олша в произвольной точкеx∈(0,1),x≠2j,j=1,2,..., эквивалентна сходим ости в этой точке посл едовательности част ичных сумм этой точке последова тельности частичных сумм с номерами 2 n ряда\(\sum\limits_{k = 0}^\infty {ka_k w_k (x)} \). Тем самым обобщается теорема Шиппа о почле нном двоичном дифференци ровании ряда Уолша, коэффицие нты которого удовлет воряют условиюka k ↓ 0 приk→∞ приk→∞. Доказывается также, ч то если непрерывная н а (0, 1) функция имеет конечную двоич ную производную всюду, кр оме, быть может, счетно го множества, то она явля ется постоянной. Этот результат обобщ ает теорему Бутцера и Вагнера, где дополнительно предп олагалась непрерывность произ водной.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. [1]
    P. L.Butzer and H. J.Wagner, On a Gibbs-type derivative in Walsh—Fourier analysis with applications,Proc. of Electronics Conference, Chicago, 1972; 393–398 (Oak Brook, Illinois, 1972).Google Scholar
  2. [2]
    P. L. Butzer andH. J. Wagner, On dyadic analysis based on the pointwise dyadic derivative,Analysis Math.,1 (1975), 171–196.Google Scholar
  3. [3]
    J. E. Coury, Walsh series with coefficients tending monotonically to zero,Pacific J. Math.,54 (1974), 1–16.Google Scholar
  4. [4]
    N. J. Fine, On the Walsh functions,Trans. Amer. Math. Soc.,65 (1949), 372–414.Google Scholar
  5. [5]
    J. E. Gibbs,Some properties of functions on the nonnegative integers less than 2n, NPL (National Physical Laboratory), Middlessex, England, DES Rept., no.3 (1969).Google Scholar
  6. [6]
    S. Saks,Theory of the integral, Dover (New York, 1964) — С. Сакс,Теория интеграла, Ино странная литература (Москва, 1949).Google Scholar
  7. [7]
    F. Schipp, On term by term dyadic differentiability of Walsh series,Analysis Math.,2 (1976), 149–154.CrossRefGoogle Scholar
  8. [8]
    А. А. Шнейдер, О сход имости рядов Фурье по функциям Уолша,Мате м. сб.,34 (1954), 441–472.Google Scholar
  9. [9]
    H. J. Wagner,Ein Differential- und Integralkalkül in der Walsh—Fourier Analysis mit Anwendungen, Westdeutscher Verlag (Köln-Opladen, 1973).Google Scholar

Copyright information

© Akadémiai Kiadó 1979

Authors and Affiliations

  • W. R. Wade
    • 1
  • В. А. Скворцов
    • 2
  1. 1.Department of MathematicsUniversity of TennesseeKnoxvilleUSA
  2. 2.МОСКО ВСКИ Й ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УН ИВЕРСИТЕТ ИМ. М. В. ЛОМО НОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕ МАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕ ТМОСКВАСССР

Personalised recommendations