Archive for History of Exact Sciences

, Volume 45, Issue 4, pp 281–334 | Cite as

Uniqueness of trigonometric series and descriptive set theory, 1870–1985

  • Roger Cooke
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Bibliography

  1. Abel, N. H. 1826 “Untersuchungen über die Reihe\(1 + \frac{m}{2} + \frac{{m(m - 1)}}{{1 \cdot 2}} + \frac{{(m - 1)(m - 2)}}{{1 \cdot 2 \cdot 3}} + ...\),”Journal für die Reine und Angewandte Mathematik,I, 311–339. French translation inŒuvres Complètes de Niels Henrik Abel, Vol.I, Grondahl, Christiania (1881), pp. 219–250.Google Scholar
  2. Ajtai, Miklós &Kechris, A. S. 1987 “The set of continuous functions with everywhere convergent Fourier series,”Transactions of the American Mathematical Society,302, No. 1, 207–221.Google Scholar
  3. Aleksandroff, P. (Александров, п. С.) 1916 “Sur la puissance des ensembles mesurables B,”Comptes Rendus de l'Académie des Sciences,158 (Feb. 28), 323–325.Google Scholar
  4. Aleksandrov, P. S.;Medvedev, F. A.; &Yushkevich, A. P. (Александров, П. С.;Медведев, Ф. А.;Юшкевич, А. П. 1980 “The letters of D. F. Egorov to N. N. Luzin,”Istoriko-matematicheskie Issledovaniya,XXV, 335–361 (“Письма Д. Ф. Егорова к Н. Н. Лузину.” Историко-математич еские Исследования,XXV, 335–361).Google Scholar
  5. Appell, P. 1879 “Sur un théorème concernant les séries trigonométriques,”Archiv der Mathematik und Physik,64, 95–96.Google Scholar
  6. Ascoli, G. 1873 “Über trigonometrische Reihen,”Mathematische Annalen,6, 231–240.Google Scholar
  7. Ascoli, G. 1874 “Sulla serie di Fourier,”Annali di Matematica Pura ed Applicata, Serie II,VI, 22–71, 298–351.Google Scholar
  8. Baire, R. 1898 “Sur les fonctions de variables réelles,”Annali di Matematica Pura ed Applicata, Serie III,III, 1–123.Google Scholar
  9. Baire, R. 1905Leçons sur les Fonctions Discontinues, Gauthier -Villars, Paris.Google Scholar
  10. Bari, N. 1923 “Sur l'unicité du développement trigonométrique,”Comptes Rendus de l'Académie des Sciences,177, No. 23 (3 Dec.), 1195–1197.Google Scholar
  11. Bari, N. 1927 “Sur l'unicité du développement trigonométrique,”Fundamenta Mathematica,9, 62–115.Google Scholar
  12. Bari, N. 1936 “Sur la nature diophantique du problème d'unicité du développement trigonométrique,”Comptes Rendus de l'Académie des Sciences,202, No. 23 (8 June), 1901–1903.Google Scholar
  13. Bari, N. 1937 “Sur le rôle des lois diophantiques dans le problème d'unicité du développement trigonométrique,”Recueil Mathématique, (Математический Сборник)2(44), No. 4, 699–722.Google Scholar
  14. Bari, N. 1949 “The uniqueness problem of the representation of a function by a trigonometric series,”Uspekhi Matematicheskikh Nauk,4, No. 3, 3–68 (“Проблема единственности разложения функции в трйгонметрический ряд,” Успехи Мамемамических Наук, Hayk,4, Mo 3, 3–68). (English translation inAmerican Mathematical Society Translations, No. 52 (1951).)Google Scholar
  15. Bari, N. 1961Trigonometric Series, Nauka, Moscow ((Тригонометрические Ряды, Наука, Москва).Google Scholar
  16. Bari, N. 1964A Treatise on Trigonometric Series, Pergamon Press, New York. (English translation of 1961.)Google Scholar
  17. Belyi, Andrey (На Рубеже Двух 1931At the Turn of the Century, Land and Factory, Moscow (На Рубеже Двух Столетий, Земля и Фабрика, Москва).Google Scholar
  18. Bernoulli, D. 1755a “Reflexions et éclaircissemens sur les nouvelles vibrations des cordeś exposées dan les mémoires de l'académie de 1747 & 1748,”Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres (Berlin),IX, 147–172.Google Scholar
  19. Bernoulli, D. 1755b “Sur le mélange de plusieurs espèces de vibrations simples isochrones, qui peuvent coexister dans un même système de corps,”Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres (Berlin),IX, 173–195.Google Scholar
  20. Bernoulli, D. 1772 “De indole singulari serierum infinitarum, quas sinus vel cosinus angulorum arithmetice progredientium formant, earumque summatione et usu,”Novi Commentarii Academiæ Scientiarum Imperialis Petropolitan⇂,XVII, 3–23.Google Scholar
  21. Bernoulli, D. 1773 “Theoria elementaris serierum, ex sinibus atque cosinibus arcuum arithmetice progredientium diversimode compositarum, dilucidata,”Novi Commentarii Academii Scientiarum Imperialis Petropolitanæ,XVIII, 3–23.Google Scholar
  22. Bernstein, F. 1908 “Zur Theorie der trigonometrischen Reihen,”Berichte über die Verhandlungen der Königlichen Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse,60, 325–338.Google Scholar
  23. Borel, E. 1895 “Sur quelques points de la théorie des fonctions,”Annales de l'École Normale Supérieure, Series 3,12, 9–55.Google Scholar
  24. Borel, E. 1898Leçons sur la Théorie des Fonctions, Gauthier-Villars et Fils, Paris.Google Scholar
  25. Borel, E. 1903 “Sur la représentation effective de certaines fonctions discontinues, comme limites de fonctions continues,”Comptes Rendus de l'Académie des Sciences,137, 903–905.Google Scholar
  26. Borel, E. 1905Leçons sur les Fonctions de Variables Réelles et les Développements en Séries de Polynômes, Gauthier-Villars, Paris.Google Scholar
  27. Bugaev, N, V, (БУГАЕВ, Н. В.) 1889 “On freedom of the will,”Trudy Moskovskogo Psikhologicheskogo Obshchestva,3, 195–218 (“О свободе воли,” Труды Московского Психологического Общества,3, 195–218).Google Scholar
  28. Burkhardt, H. 1901 “Entwicklungen nach oscillirenden Functionen und Integration der Differentialgleichungen der mathematischen Physik,”Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung,10, 1–176.Google Scholar
  29. Cantor, G. 1870a “Über einen die trigonometrischen Reihen betreffenden Lehrsatz,”Journal für die Reine und Angewandte Mathematik,LXXII, 130–138 =Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim, 1962, pp. 71–79.Google Scholar
  30. Cantor, G. 1870b “Beweis, daß eine für jeden reellen Wert vonx durch eine trigonometrische Reihe gegebene Funktionf(x) sich nur auf eine enzige Weise in dieser Form darstellen läßt,”Journal für die Reine und Angewandte Mathematik,LXXII, 139–172 =Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim, 1962, pp. 80–83.Google Scholar
  31. Cantor, G. 1871a “Notiz zu dem Aufsatze: Beweis, daß eine für jeden reellen Wert vonx durch eine trigonometrische Reihe gegebene Funktionf(x) sich nur auf eine einzige Weise in dieser Form darstellen läßt,”Journal für die Reine und Angewandte Mathematik,LXXIII, 294–296 =Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim, 1962, pp. 84–86.Google Scholar
  32. Cantor, G. 1871b “Über trigonometrische Reihen,”Mathematische Annalen,4, 139–143 =Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim, 1962, pp. 87–91.Google Scholar
  33. Cantor, G. 1872 “Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen,”Mathematische Annalen,5, 123–132 =Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim, 1962, pp. 92–101.Google Scholar
  34. Cantor, G. 1874 “Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen,”Journal für die Reine und Angewandte Mathematik,LXXVII, 258–262 =Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim, 1962, pp. 115–118.Google Scholar
  35. Cantor, G. 1878 “Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre,”Journal für die Reine und Angewandte Mathematik,LXXXIV, 242–258 =Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim, 1962, pp. 119–133.Google Scholar
  36. Cantor, G. 1879a “Über einen Satz aus der Theorie der stetigen Mannigfaltigkeiten,”Göttinger Nachrichten, 127–135 =Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim, 1962, pp. 113–138.Google Scholar
  37. Cantor, G. 1879b “Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten,”Mathematische Annalen,15, 1–7 =Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim, 1962, pp. 139–145.Google Scholar
  38. Cantor, G. 1880a “Bemerkung über trigonometrische Reihen,”Mathematische Annalen,16, 113–114 =Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim, 1962, p. 103.Google Scholar
  39. Cantor, G. 1880b “Fernere Bemerkung über trigonometrische Reihen,”Mathematische Annalen,16, 267–269 =Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim 1962, pp. 104–106.Google Scholar
  40. Cantor, G. 1880c “Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten,”Mathematische Annalen,17, 355–358 =Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim, 1962, pp. 145–148.Google Scholar
  41. Cantor, G. 1882 “Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten,”Mathematische Annalen,20, 113–121 =Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim, 1962, pp. 149–157.Google Scholar
  42. Cantor, G. 1883 “Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten,”Mathematische Annalen,21, 51–58 =Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim, 1962, pp. 157–164.Google Scholar
  43. Cantor, G. 1884a “Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten,”Mathematische Annalen,23, 453–488 =Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim, 1962, pp. 165–204.Google Scholar
  44. Cantor, G. 1884b “De la puissance des ensembles parfaits de points,”Acta Mathematica,4, 381–392 =Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim, 1962, pp. 252–260.Google Scholar
  45. Carleson, L. 1966 “On convergence and growth of partial sums of Fourier series,”Acta Mathematica,116, 135–157.Google Scholar
  46. Carlet, C., &Debs, G. 1984 “Un résultat sur les ensembles d'unicité du tore,”Séminaire de l'Initiation à l'Analyse, G. Choquet-M. Rogalski-J. Saint Raymond, 24ème année, Cahier 2.Google Scholar
  47. Cauchy, A. L. 1826 “Mémoire sur les développements des fonctions en séries périodiques, ”Mémoires de l'Académie des Sciences,VI, 603–610 = ŒuvresComplètes d'Augustin Cauchy, 1re Série, T. II, Gauthier-Villars, Paris, 1908, pp. 12–19. (Paper read to the Academy 27 February 1826.)Google Scholar
  48. Cauchy, A. L. 1841 “Note sur le développement des fonctions en séries,”Comptes Rendus de l'Académie des Sciences,XIII, 910–916 = ŒuvresComplètes d'Augustin Cauchy, 1re Série, T. II, Gauthier-Villars, Paris, 1888, pp. 359–365.Google Scholar
  49. Chaplygin, S. A. (чаплыгин, С. А.) 1919 “ Foundations of a new method of approximate integration of differential equations,” Byulletin Nauchno-eksperimental'nogo Instituta Putei Soobshcheniya,13, 1–16 (“Основания новог о способа приближен ног о интегрирования ди фф еренциальных ура внен ий,” Бюллетин Научн о-зк сперименталъногоИнс титута Путей Сообще ни я,13, 1–16).Google Scholar
  50. Cooke, R. 1979 “The Cantor-Lebesgue theorem,”American Mathematical Monthly,86, No. 7, 558–565.Google Scholar
  51. Dauben, J. 1979Georg Cantor, His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts.Google Scholar
  52. Debs, G., &Saint Raymond, J. 1987 “Ensembles boréliens d'unicité et d'unicité au sens large,”Annales de l'Institut Fourier de Grenoble,37, No. 3, 217–239.Google Scholar
  53. Demidov, S. S. (ДЕМИДОВ, С. С.) 1985 “ N. V. Bougaiev et la création de l'école de Moscou de la théorie des fonctions d'une variable réelle,” in:Festschrift für Helmuth Gericke, Series “Boethius,” Band 12, Franz Steiner Verlag, Wiesbaden-Stuttgart, pp. 651–673.Google Scholar
  54. Demidov, S. S. 1986 “From the early history of the Moscow school of the theory of functions”Istoriko-matematicheskie Issledovaniya,XXX, 124–130 (“Из ранней истории Московской школы теории функций, ”Историко-математич еские Исследования,XXX. 124–130).Google Scholar
  55. Demidov, S. S.;Parshin, A. A., Polovinkin, S. M., &Florenskii, P. V. (демидов, С. С.;паршин, А. А., половинкин, С. М.;флоренский, п. В.) 1989 “ N. N. Luzin's correspondence with P. A. Florenskii,”Istoriko-matematicheskie Issledovaniya,XXXI, 125–191 (“Переписка Н. Н. Луз ина с П. А. Флоренским, ”Историко-математич еские Исследования,XXXI, 125–191).Google Scholar
  56. Denjoy, A. 1941Leçons sur le Calcul des Coefficients d'une Série Trigonométrique, GauthierVillars, Paris.Google Scholar
  57. Dieudonné, J. 1970 “Histoire de l'analyse harmonique,” Address given atThirteenth International Colloquium on the History of Science. Moscow.Google Scholar
  58. Dini, U. 1892Grundlagen für eine Theorie der Functionen einer Veränderlichen Reellen Grosse, Teubner, Leipzig. (German translation ofFondamenti per la Teorica délie Funzioni di Variabili Reali, Nistri, Pisa (1878), edited and supplemented byJ. Lüroth &A. Schepp.)Google Scholar
  59. Dirichlet, P. G. 1829 “Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données,”Journal für die Reine und Angewandte Mathematik,IV, 157–169.Google Scholar
  60. Dirichlet, P. G. 1837a “Über die Darstellung ganz willkürlicher Functionen durch Sinus- und Cosinusreihen,”Repertorium der Physik,I, 152–174.Google Scholar
  61. Dirichlet, P. G. 1837b “Sur les séries dont le terme générale dépend de deux angles, et qui servent à exprimer des fonctions arbitraires entre des limites données,”Journal für die Reine und Angewandte Mathematik,XVII, 35–56.Google Scholar
  62. Du Bois-Reymond, P. 1875a “Untersuchungen über die Convergenz und Divergenz der Fourierschen Darstellungs-Formeln,”Abhandlungen der Königlichen Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Zweite Klasse,XII, Erste Abteilung, 1–102.Google Scholar
  63. Du Bois-Reymond, P. 1875b “Beweis, dass die Coefficienten der trigonometrischen Reihe\(f(x) = \sum\limits_{p = 0}^{p = \infty } {(a_p \cos \cdot px + b_p \sin px)} \) die Werthe\(\begin{array}{*{20}c} {a_0 = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {d\alpha f(\alpha ),} } & {a_p = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {d\alpha f(\alpha )\cos \cdot p\alpha ,} } & {b_p = \frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^{ + \pi } {d\alpha f(\alpha )\sin \cdot p\alpha } } \\ \end{array} \) haben, jedesmal wenn diese Integrale endlich und bestimmt sind},”Abhandlungen der Königlichen Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Zweite Klasse,XII, Erste Abteilung, 117–166.Google Scholar
  64. Dugac, P. 1976 “Notes et documents sur la vie et l'œuvre de René Baire,”Archive for History of Exact Sciences,15, 297–383.Google Scholar
  65. Egoroff, D. (Егоров, Д. Е.) 1911 “Sur les suites des fonctions mesurables,”Comptes Rendus de l'Académie des Sciences,152, 244–246.Google Scholar
  66. Erdös, P. 1939 “On a family of symmetric Bernoulli convolutions,”American Journal of Mathematics,LXI, 974–976.Google Scholar
  67. Euler, L. 1754 “Subsidium calculi sinuum,”Novi Commentarii Academiæ Scientiarum Imperialis Petropolitanæ,V, 164–204.Google Scholar
  68. Euler, L. 1755 “Remarques sur les mémoires précedens de M. Bernoulli,”Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres (Berlin),IX, 196–222. (Commentary on the papers 1755a and 1755b of D. Bernoulli.)Google Scholar
  69. Euler, L. 1773a “Summatio progressionum\(\begin{array}{*{20}c} {\sin \cdot \phi ^\lambda + \sin \cdot 2\phi ^\lambda + \sin \cdot 3\phi ^\lambda + \cdot \cdot \cdot + \sin \cdot n\phi ^\lambda } \\ {\cos \cdot \phi ^\lambda + \cos \cdot 2\phi ^\lambda + \cos \cdot 3\phi ^\lambda + \cdot \cdot \cdot + \cos \cdot n\phi ^\lambda } \\ \end{array} \),”Novi Commentarii Academiæ Scientiarum Imperialis Petropolitanæ,XVIII, 24–32.Google Scholar
  70. Euler, L. 1773b “Summatio generalis infinitarum aliarum progressionum ad hoc genus referrendarum,”Novi Commentarii Academiæ Scientiarum Imperialis Petropolitanæ,XVIII, 32–70. (Addendum to 1773a.)Google Scholar
  71. Fatou, P. 1906 “Séries trigonométriques et séries de Taylor,”Acta Mathematica,XXX, 335–400.Google Scholar
  72. Ford, C. 1991 “Dmitri Egorov: Mathematics and theology in Russia,”The Mathematical Intelligencer,13, No. 2, 24–30.Google Scholar
  73. Fourier, J. B. 1807 “Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides,”Nouveau Bulletin des Sciences par la Société Philomathique de Paris,I, No. 6 (March 1808), 112–116 = Œuvresde Fourier, T. 2, Gauthier-Villars et Fils, Paris, 1890, pp. 215–221. (Report by Poisson on a paper delivered by Fourier in December 1807.)Google Scholar
  74. Gibson, George A. 1893 “On the history of the Fourier series,”Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society,XI, 137–166.Google Scholar
  75. Gödel, K. 1938 “The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum hypothesis,”Proceedings of the National Academy of Sciences,24, 556–557.Google Scholar
  76. Gross, K. I. 1992 “Harmonic analysis,” in:Encyclopedia of the Mathematical Sciences, Routledge, London (to appear).Google Scholar
  77. Hardy, G. H., &Littlewood, J. E. 1914 “Some problems of Diophantine approximation,”Acta Mathematica,37, 155–191.Google Scholar
  78. Harnack, A. 1880 “Über die trigonometrische Reihe und die Darstellung willkürlicher Functionen,”Mathematische Annalen,17, 123–132.Google Scholar
  79. Hausdorff, F. 1914Grundzüge der Mengenlehre, Chelsea Publishing Corporation, New York (1949). English translation of third edition (1937):Set Theory, Chelsea, New York (1957).Google Scholar
  80. Hausdorff, F. 1919 “Dimension und äußeres Maß,”Mathematische Annalen,79, 157–179.Google Scholar
  81. Hawkins, T. 1970Lebesgue's Theory of Integration, its Origins and Development, University of Wisconsin Press, Madison.Google Scholar
  82. Heine, E. 1870 “Über trigonometrische Reihen,”Journal für die Reine und Angewandte Mathematik,LXXI, 353–365.Google Scholar
  83. Hobson, E. W. 1927The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier's Series, Cambridge University Press.Google Scholar
  84. Hölder, O. 1884 “Zur Theorie der trigonometrischen Reihen,”Mathematische Annalen,24, 181–216.Google Scholar
  85. Ivashev-Musatov, O. S. (ИВАШЕВ-МУСА ТОВ, О. С.) 1962 “M-sets and Hausdorff measure,”Soviet Math, Doklady,3, 213–216 (“M- множества и Хаусд орфская мера,”Докл ад ы Академии Hayk CCCP,142, 1001–1004).Google Scholar
  86. Jacobi, C. G. J. 1827 “Über den Ausdruck der verschiedenen Wurzeln einer Gleichung durch bestimmte Integrale, ”Journal für die Reine und Angewandte Mathematik,II, 1–8 =C. G. J. Jacobi's Gesammelte Werke, Vol. 6, Chelsea, New York (1969), pp. 12–20.Google Scholar
  87. Kahane, J.-P. 1953 “Sur quelques problèmes d'unicité et de prolongement,”Annales de l'Institut Fourier de Grenoble,V, 38–130.Google Scholar
  88. Kahane, J.-P., &Salem, R. 1963Ensembles Parfaits et Séries Trigonométriques, Hermann, Paris.Google Scholar
  89. Kaufman, R. 1972 “Kronecker sets and metric properties of M0-sets,”Proceedings of the American Mathematical Society,36, No. 2, 519–524.Google Scholar
  90. Kaufman, R. 1973 “M-sets and distributions,”Astérisque,5, 225–230.Google Scholar
  91. Kaufman, R. 1984 “Fourier transforms and descriptive set theory,”Mathematika,31, 336–339.Google Scholar
  92. Kaufman, R. 1987 “Perfect sets and sets of multiplicity,”Hokkaido Mathematical Journal,16, 51–55.Google Scholar
  93. Kechris, A. S., &Louveau, A. 1987Descriptive Set Theory and the Structure of Sets of Uniqueness, London Mathematical Society Lecture Notes Series, No. 128, Cambridge University Press.Google Scholar
  94. Kholshchevnikova, N. N. (ХОЛЩЕВНИКОВА, Н. Н.) 1981 “On the union of less than a continuum of closed U-sets,”Vestnik Moskovskogo Universiteta, Seriya 1, Matematika/Mekhanika, 51–55. (“О сумме меньше кон тинуума замкнутых [U-мн ожеств,”Вестник Мос ковского Университе та, Серия 1, Математик а/Механика, 51–55).Google Scholar
  95. Lagrange, J.-L. 1759 “Recherches sur la nature et la propagation du son,”Miscellanea Taurinensia,I = Œuvresde Lagrange, Vol. 1, pp. 39–148.Google Scholar
  96. Lagrange, J.-L. 1760 “Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son,”Miscellanea Taurinensia,II = Œuvresde Lagrange, Vol. 1, pp. 151–316.Google Scholar
  97. Lagrange, J.-L. 1761 “Addition aux premières recherches sur la nature et la propagation du son,”Miscellanea Taurinensia,II = Œuvresde Lagrange, Vol. 1, pp. 321–332.Google Scholar
  98. Lebesgue, H. 1902 “Intégrale, longueur, aire,”Annali di Matematica Pura ed Applicata, Serie III,T. VII, 231–359.Google Scholar
  99. Lebesgue, H. 1903 “Sur les séries trigonométriques,”Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure,20, 455–485.Google Scholar
  100. Lebesgue, H. 1904Leçons sur l'Intégration et la Recherche des Fonctions Primitives, Gauthier-Villars, Paris.Google Scholar
  101. Lebesgue, H. 1905 “Sur les fonctions représentables analytiquement,”Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Sixième Série,1, 139–216.Google Scholar
  102. Lebesgue, H. 1906Leçons sur les Séries Trigonométriques, Gauthier-Villars, Paris.Google Scholar
  103. Lipschitz, R. 1864 “De explicatione per series trigonometricas instituenda functionum unius variabilis arbitrariarum, et præcipe earum, quae per variabilis spatium finitum valorum maximorum et minimorum habent infinitum, disquisitio,”Journal für die Reine und Angewandte Mathematik,LXIII, 296–308.Google Scholar
  104. Lipschitz, R. 1913 “Recherches sur le développement en séries trigonométriques des fonctions arbitraires d'une variable et principalement de celles qui, dans un intervalle fini, admettent une infinité de maxima et de minima,”Acta Mathematica,36, 281–295.Google Scholar
  105. Luzin, N. N. (Лузин, Н. Н.) 1912 “Sur les proprié tés des fonctions mesurables,”Comptes Rendus de l'Académie des Sciences,154, 1688–1690.Google Scholar
  106. Luzin, N. N. 1915Integration and the Trigonometric Series, Dissertation published in 1951 by the Government Publishing House for Technical/Theoretical Literature, Moscow-Leningrad (Интеграл и Тр игонометрический ряд, Государственное Издательство Техник о-теоретической Лите ратуры, Москва-Ленинг рад, 1951).Google Scholar
  107. Luzin, N. N. 1930Leçons sur les Ensembles Analytiques, Second Edition, Chelsea Publishing Corporation, New York (1972).Google Scholar
  108. Luzin, N. N. 1933 “The present state of the theory of functions of a real variable,”Collected Works, Vol. II, USSR Academy of Sciences, Moscow, pp. 494–536 (“Современное состояние теории функций действительного переменного,” Собрание Сочинений, Т. II, Академия Наук CCCP, Москва), ctp. 494-536).Google Scholar
  109. Lyons, R. 1987 “On the structure of sets of uniqueness,”Proceedings of the American Mathematical Society,101, No. 4, 644–646.Google Scholar
  110. Medvedev, F. M. (медведев, Ф. М.) 1963 “ The background of set-theoretic and function-theoretic investigations in Russia,” in:Essays on the History of Mathematics and Mechanics, USSR Academy of Sciences, Moscow (“Подгот овка теоретико-мно жественных и теоре тикофункциональны х исследований в Рос сии,” в книге: Очерки Истории Математики и Механики (Сборник С татей), Издательство Академии Наук CCCP, Мо сква).Google Scholar
  111. Medvedev, F. M. 1975Essays on the History of the Theory of Functions of a Real Variable, Nauka, Moscow (Очерки Истории Теор ии Функций Действите льного Переменного, Наука, Москва).Google Scholar
  112. Medvedev, F. M. 1976The French School of the Theory of Functions of a Real Variable, Nauka, Moscow ((Французская Школа Т еории Функций Действ ительного, Переменн ого, Наука, Москва).Google Scholar
  113. Medvedev, F. M. 1982The Early History of the Axiom of Choice, Nauka, Moscow (РаняяИстория Аксиомы Выбора, Наука, Москва).Google Scholar
  114. Medvedev, F. M. 1988 “On B. K. Mlodzeevskii's course of lectures on the theory of functions of a real variable given in the autumn of 1902 at Moscow University,”Istorikomatematicheskie Issledovaniya,XXX, 130–148 (“О курсе лекций Б. К. Млодзеевского по теории функций действительного переменного, прочитанных осенъю 1902 г. в московском универеситете,”Историкоматематиче ские Исследования,XXX, 130–148).Google Scholar
  115. Medvedev, F. M. 1991Scenes from the History of Real Functions, Birkhäuser Verlag, Basel. (English translation of 1975.)Google Scholar
  116. Menchoff, D. E. (меньшов, Д. Е.) 1916 “Sur l'unicité du développement trigonométrique,”Comptes Rendus de l'Académie des Sciences,163, No. 17 (23 Oct.), 433–436.Google Scholar
  117. Meyer, Y. 1968a “Une caractérisation des nombres de Pisot,”Comptes Rendus de l'Académie des Sciences,266, 63–64.Google Scholar
  118. Meyer, Y. 1968b “Problème de l'unicité et de la synthèse en analyse harmonique,”Comptes Rendus de l'Académie des Sciences,266, 275–276.Google Scholar
  119. Meyer, Y. 1970 “Nombres de Pisot, nombres de Salem, et Analyse Harmonique,”Lecture Notes in Mathematics, No. 117, Springer-Verlag, New York.Google Scholar
  120. Meyer, Y. 1972Algebraic Numbers and Harmonic Analysis, North-Holland, Amsterdam.Google Scholar
  121. Moschovakis, Y. N. 1980Descriptive Set Theory, North-Holland, Amsterdam.Google Scholar
  122. Nekrasov, P. A. (НЕКРАСОВ, П. А.) 1902 “The philosophy and logic of the study of the large-scale manifestations of human activity,”Matematicheskii Sbornik,23, 463–604 (“Философия и логика науки о массовых проявлениях человеческой Деятельности,”Математический Сборник,23, 463–604).Google Scholar
  123. Nekrasov, P. A. 1904 “The Moscow philosophical-mathematical school and its founders,”Matematicheskii Sbornik,25, 3–249 (“Московская философско-математи ческая школа и ее основатели,”Математический Сборник,25, 3–249).Google Scholar
  124. Noether, E., Cavaillés, J. 1937Briefwechsel Cantor-Dedekind, Hermann & Cie., Paris. (Actualités Scientifiques et Industrielles, No. 518.)Google Scholar
  125. Paplaukas, A. B. (ГАПЛАУСКАС, А. В.) 1960 “From the history of the localization principle of trigonometric series.”Trudy Instituta Istorii Estestvoznaniya i Tekhniki,34, 323–342 ((“Из истории принципа локализации тригонометрических рядов,”Труды Института Истории Естествознания и Техники,34, 323–342).Google Scholar
  126. Paplaukas, A. B. 1961 “The problem of uniqueness in the theory of trigonometric series,”Istorikomatematicheskie Issledovaniya,XIV, 181–210 (“Проблема единственности в теории тригонометри ческих рядов,”Историко-математиче ские Исследования,XIV, 181–210).Google Scholar
  127. Paplaukas, A. B. 1966Trigonometric Series from Euler to Lebesgue, Nauka, Moscow (Тригонометрические Ряды от Эйлера до Лебега, Наука, Москва).Google Scholar
  128. Perron, O. 1922 “Einige elementare Funktionen, welche sich in eine trigonometrische, aber nicht Fouriersche Reihe entwickeln lassen,”Mathematische Annalen,87, 84–89.Google Scholar
  129. Phillips, E. 1978 “Nicolai Nicolaevich Luzin and the Moscow school of the theory of functions,”Historia Mathematica,5, 275–305.Google Scholar
  130. Pisot, Ch. 1938 “La répartition modulo 1 et les nombres algébriques,”Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa, Serie II,VII, 205–248.Google Scholar
  131. Poisson, S. D. 1823 “Sur les intégrales définies et sur la sommation des séries,”Journal de l'École Polytechnique,XII (Cahier 19), 404–509.Google Scholar
  132. Purkert, W. 1987 “Cantors Untersuchungen über die Eindeutigkeit der Fourierentwicklung im Lichte seines Briefwechesels mit H. A. Schwarz,”NTM-Schriftenreihe zur Geschichte der Naturwissenschaften,24, 19–28.Google Scholar
  133. Pyatetskii-Shapiro, I. I. (ПЯТЕЦКИЙ-ШАП ИРО, И. И.) 1952 “On the problem of uniqueness of expansion of a function in a trigonometric series, ”Uchenye Zapiski Moskovskogo Gosudarstvennogo Universiteta,155, No. 5, 54–72 (“К проблеме единственн ости разложения фун кции в тригонометри ческий ряд,”Ученые Записки Московского Государственного Университета,155, No 5, 54–72).Google Scholar
  134. Pyatetskii-Shapiro, I. I. 1954 “Supplement to the paper ‘On the problem of uniqueness of expansion of a function in a trigonometric series’,”Uchenye Zapiski Moskovskogo Gosudarstvennogo Universiteta,165, No. 7, 79–97 (“Дополнение к работе ≪ О задаче единственности разложения функции в тригонометрический ряд ≫,”Ученые Записки Московского Госуда рственного Универси тета,165, No 7, 79–97).Google Scholar
  135. Rajchman, A. 1922 “Sur l'unicité du développement trigonométrique,”Fundamenta Mathematica,3, 286–302.Google Scholar
  136. Riemann, B. 1854 “Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe,”Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen,13 (1867), 87–131 =Bernhard Riemann's Gesammelte Mathematische Werke und Wissenschaftlicher Nachlaβ, Dover, New York 1953, pp. 227–265.Google Scholar
  137. Riesz, M. 1907 “Sur les séries trigonométriques,”Comptes Rendus de l'Académie des Sciences,145, 583–586.Google Scholar
  138. Riesz, M. 1910 “Summable trigonometric series and summable power series,”Mathematikai és Physikai Lapok,19, 1–56.Google Scholar
  139. Rosenthal, A. 1922 “Neuere Untersuchungen über Funktionen reeller Veränderlichen, a. Die Punktmenge,”Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einzeldarstellungen, Bd. II, 3 Teil, 2 Hälfte, 856–1025. (German translation of Zoretti 1912.)Google Scholar
  140. Sachse, Arnold 1880a “Versuch einer Geschichte der Darstellung willkürlicher Functionen einer Variablen durch trigonometrische Reihen,”Zeitschrift für Mathematik und Physik,XXV, 231–276. (Doctoral dissertation at Göttingen University, 1879.)Google Scholar
  141. Sachse, Arnold 1880b “Essai historique sur la représentation d'une fonction arbitraire d'une seule variable par une série trigonométrique,”Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques,IV, 43–64, 83–112. (French translation, with small variants, of 1880a.)Google Scholar
  142. Salem, R. 1942 “On sets of multiplicity for trigonometrical series,”American Journal of Mathematics,LXIV, 531–538.Google Scholar
  143. Salem, R. 1943 “Sets of uniqueness and sets of multiplicity,”Transactions of the American Mathematical Society,54, 218–228.Google Scholar
  144. Salem, R. 1944 “Sets of uniqueness and sets of multiplicity. II,”Transactions of the American Mathematical Society,56, 32–49.Google Scholar
  145. Salem, R. &Zygmund, A. 1955 “Sur un théorème de Piatecki-Schapiro,”Comptes Rendus de l'Académie des Sciences,140, 2040–2042.Google Scholar
  146. Schwarz, H. A. 1872 “Zur Integration der partiellen Differentialgleichung Δu = 0,”Journal für die Reine und Angewandte Mathematik,LXXIV, 218–353.Google Scholar
  147. Seidel, Ph. L. 1847 “Note über eine Eigenschaft der Reihen, welche discontinuirliche Functionen darstellen,”Abhandlungen der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 379–394 =Ostwald's Klassiker der Exacten Wissenschaften, No. 116, Leipzig, 1900, pp. 35–45.Google Scholar
  148. Souslin, M. (Суслин, М. Я.) 1917 “Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis,”Comptes Rendus de l'Académie des Sciences,159 (8 Jan.), 88–94.Google Scholar
  149. Stokes, G. G. 1848 “On the critical values of the sums of periodic series,”Philosophical Magazine,XXXIII, 309–311;Proceedings of the Cambridge Philosophical Society,VIII (1849), 533–583.Google Scholar
  150. Tannery, J. 1904Introduction à la Théorie des Fonctions d'une Variable, Hermann, Paris.Google Scholar
  151. Thomé, L. 1866 “Über die Kettenbruchentwicklung der Gaußschen Function F(α, 1,γ, x),”Journal für die Reine und Angewandte Mathematik,LXVI, 322–336.Google Scholar
  152. Vallée-Poussin, Ch. De La 1912a “Sur l'unicité du développement trigonométrique,”Bulletin de la Classe des Sciences de l'Académie Royale de Belgique, 702–718.Google Scholar
  153. Vallée-Poussin, Ch. De La 1912b “Sur l'unicité du développement trigonométrique,”Comptes Rendus de l'Académie des Sciences,155, No. 20 (11 Nov.), 951–953.Google Scholar
  154. Varopoulos, N. Th. 1965 “Sur les ensembles parfaits et les séries trigonométriques,”Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, SériesA–B, 260, A3831-A3834.Google Scholar
  155. Vijayaraghavan, T. 1940 “On the fractional parts of the powers of a number (I),”The Journal of the London Mathematical Society,XV, 159–160.Google Scholar
  156. Vijayaraghavan, T. 1941 “On the fractional parts of the powers of a number (II),”Proceedings of the Cambridge Philosophical Society,37, 349–357.Google Scholar
  157. Vivanti, G. 1892 “Notice historique sur la théorie des ensembles,”Bibliotheca Mathematica, Neue Folge,6, 9–25.Google Scholar
  158. Weyl, H. 1909 “Über die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonalfunktionen fortschreiten,”Mathematische Annalen,67, 225–245.Google Scholar
  159. Young, W. H. 1909 “A note on trigonometrical series,”The Messenger of Mathematics,XXXVIII, 44–48.Google Scholar
  160. Young, W. H. 1910 “On the conditions that a trigonometrical series should have the Fourier form,”Proceedings of the London Mathematical Society,9, 421–433.Google Scholar
  161. Young, W. H. &Young, G. C. 1906The Theory of Sets of Points, Cambridge University Press.Google Scholar
  162. Zoretti, L. 1912 “Les ensembles de points,”Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées,II, Vol. 1, Fascicule 2, 113–241. (German translation in Rosenthal 1922.)Google Scholar
  163. Zygmund, A. 1923a “Sur la théorie riemanniénne des séries trigonométriques,”Comptes Rendus de l' Académie des Sciences,177, No. 12 (17 Sept.), 521–523.Google Scholar
  164. Zygmund, A. 1923b “Sur les séries trigonométriques,”Comptes Rendus de l'Académie des Sciences,177, No. 14 (1 Oct.), 576–579.Google Scholar
  165. Zygmund, A. 1926a “Contribution à l'unicité du développement trigonométrique,”Mathematische Zeitschrift,24, 40–46.Google Scholar
  166. Zygmund, A. 1926b “Sur la théorie riemanniénne des séries trigonométriques,”Mathematische Zeitschrift,24, 47–104.Google Scholar
  167. Zygmund, A. 1968Trigonometric Series, Vols. I and II, Cambridge University Press.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1993

Authors and Affiliations

  • Roger Cooke
    • 1
  1. 1.Department of Mathematics and StatisticsUniversity of VermontBurlington

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