Mathematische Annalen

, Volume 102, Issue 1, pp 562–623

Zur Topologie der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten

Zweiter Teil Klasseninvarianten von Abbildungen
  • Heinz Hopf
Article

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. 2).
    Brouwer, Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen71 (1911).Google Scholar
  2. 3).
    H. Kneser, Glättung von Flächenabbildungen, Math. Annalen100 (1928).Google Scholar
  3. 4).
    Brouwer, Über Jordansche Mannigfaltigkeiten, § 6, Math. Annalen71 (1911).Google Scholar
  4. 5).
    Brouwer, Aufzählung der Abbildungsklassen endlichfach zusammenhängender Flächen, Math. Annalen82 (1921); besonders S. 284.Google Scholar
  5. 6).
    H. Kneser, Die kleinste Bedeckungszahl innerhalb einer Klasse von Flächenabbildungen; erscheint in den Math. Annalen.Google Scholar
  6. 7).
    Brouwer, Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl, Math. Annalen70 (1911).Google Scholar
  7. 9).
    J. Nielsen, Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen I, II. Acta mathematica50, 53 (1927, 1929). Man vergleiche besonders die Charakterisierung der Fixpunktklassen in I auf S. 289 unten.Google Scholar
  8. 10).
    Daß die Aufzählung der Gruppenhomomorphismen im allgemeinen (nämlich dann, wenn μ′ nicht die Kugel oder die projektive Ebene ist) mit der Aufzählung der Abbildungsklassen identisch ist, geht aus der unter 5) genannten Arbeit von Brouwer (S. 286) hervor. Die unter 6) genannte Arbeit von Kneser enthält wichtige Beiträge zur Durchführung dieser Aufzählung.Google Scholar
  9. 11).
    Dieser Paragraph, insbesondere sein erster Absatz, ist nur eine Zusammenstellung von Tatsachen, die ziemlich allgemein bekannt sein durften. — Literatur: Poincaré, Analysis Situs, §§ 12, 13, Journ. École Polytechn. (2)1 (1895). — Kerékjártó, Vorlesungen über Topologie (Berlin 1923), V. Abschn., § 2. — J. Nielsen, wie unter 9). — Reidemeister, Fundamentalgruppe und Überlagerungsräume, Nachr. Ges. d. Wiss. Göttingen, Math.-phys. Klasse, 1928. — Schreier, Die Verwandtschaft stetiger Gruppen im großen, § 1, Abhandl. Math. Sem. d. Hamburgischen Universität5 (1927). — Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche (Leipzig-Berlin 1913), § 9.Google Scholar
  10. 12).
    Man ziehew 1 −1 w 1 unter Festhaltung des Endpunktes vonw 1 auf diesen zusammen.Google Scholar
  11. 15).
    Definition der „Kompaktheit vonf in ξ”: Teil I, §4, S. 598.Google Scholar
  12. 16).
    Bis hierher ist von den RäumenM und μ nicht benutzt worden, daß sie Mannigfaltigkeiten, sondern nur, daß sie zusammenhängende, im Kleinen zusammenhängende, im Kleinen kompakte topologische Räume sind, in denen sich jeder hinreichend kleine geschlossen Weg zusammenziehen läßt. — Vpn nun an aber ist es wesentlich, daßM und μ Mannigfaltigkeiten von der gleichen Dimensionszahln sind.Google Scholar
  13. 17).
    Dabei sindu undu′ als Bilder einer festen Kreisliniek aufzufassen und die Entfernung zwischenu undu′ ist das Maximum der Entfernungen der beiden Bilder einesk durchlaufenden Punktes.Google Scholar
  14. 18).
    Teil I, § 3.Google Scholar
  15. 19).
    Teil I, § 5.Google Scholar
  16. 20).
    Teil I, § 4.Google Scholar
  17. 21).
    Folgt aus Teil I, § 1, Satz X, durch Anwendung aufk zueinander fremde Teilelemente vone.Google Scholar
  18. 22).
    Teil I, § 4, Satz Ia.Google Scholar
  19. 23).
    Teil I, § 1, Satz X.Google Scholar
  20. 24).
    Teil I, § 4, Satz II.Google Scholar
  21. 25).
    Teil I, § 1, Satz IX.Google Scholar
  22. 26).
    Diese Möglichkeit der Erweiterung einer Abbildung folgt unmittelbar aus der Möglichkeit, den Definitionsbereich einer stetigen Funktion zu erweitern. Man vgl. Teil I, Fußnote, und die entsprechen de Stelle im Text.Google Scholar
  23. 27).
    Teil I, § 2, Hilfssatz I.Google Scholar
  24. 28).
    Teil I, § 1, Satz IXa.Google Scholar
  25. 29).
    Deutet man die in einer Umgebung von ξ mit ξ als Nullpunkt eingefuhrten euklidischen Koordinaten der Bildpunkte als die Komponenten von Vektoren, die den Punkten vone zugeordnet sind, so ist die hier zu lösende Aufgabe identisch mit der Aufgabe, ein ine gegebenes Vektorfeld, das am Rande den Index 2c hat, durch eine Abänderung im Inneren vone durch ein anderes Vektorfeld, das dort genau zwei Nullstellen mit den Indexenc hat, zu ersetzen; diese „Randwertaufgabe” ist lösbar; siehe H. Hopf, Abbildungsklassenn-dimensionale Mannigfaltigkeiten, § 5, Nr. 4, Math. Annalen96 (1926).Google Scholar
  26. 29a).
    Dies geschieht analog wie in Fußnote H. Hopf, Abbildungsklassenn-dimensionaler Mannigfaltigkeiten”, §5, Nr. 4, Math. Annalen96 (1926) angegeben.Google Scholar
  27. 31).
    Zur Orientierung über die mit der “Homologie” zusammenhängenden Begriffe und Sätze vgl. man: J. W. Alexander, Combinatorial Analysis Situs. Transact. Am. Math. Soc.28 (1926).Google Scholar
  28. 32).
    H. Hopf, On some properties of one-valued transformations of manifolds, Satz Ia. Proc. of the Nat. Acad. of Sciences U.S.A.14 (1928). — Eine ausführliche Darstellung erscheint demnächst unter dem Titel “Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten” im Journ. f. d. reine u. angew. Math.Google Scholar
  29. 33).
    Um den Gegensatz zu dem Wortlaut dieser Sätze vollständig zu machen, hat man die im Text angegebene Abbildung noch durch eine simpliziale Abbildung mit denselben Eigenschaften zu ersetzen, was aber infolge des analytischen Charakters der Abbildung keine Schwierigkeit macht.Google Scholar
  30. 34).
    Pontrjagin, Zum Alexanderschen Dualitätssatz, Zweite Mitteilung, Satz Ia. Nachr. d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-Phys. Klasse (1927). Dort ist der Satz für “Homologien mod 2” bewiesen; der Beweis für gewöhnliche Homologien ist mir aus einer Note von Pontrjagin bekannt, die demnächst veröffentlicht werden dürfte. — In engem Zusammenhang damit stehen die folgenden Arbeiten: van Kampen, Eine Verallgemeinerung des Alexanderschen Dualitätssatzes. Koninkl. Akad. van Wetenschappen te Amsterdam Proc.31 (1928), und: Die kombinatorische Topologie und die Dualitätssätze, Diss. Leiden 1929. — Lefschetz, Closed point sets on a manifold. Annals of Math.29 (1928), sowie die dort zitierten Noten in den Proc. Nat. Acad. (1927).Google Scholar
  31. 35).
    Kerékjártó, Vorlesungen uber Topologie (Berlin 1923), S. 160.Google Scholar

Copyright information

© Verlag von Julius Springer 1930

Authors and Affiliations

  • Heinz Hopf
    • 1
  1. 1.Berlin

Personalised recommendations