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Zur Topologie der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten

Zweiter Teil Klasseninvarianten von Abbildungen

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Literatur

  1. 2)

    Brouwer, Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen71 (1911).

  2. 3)

    H. Kneser, Glättung von Flächenabbildungen, Math. Annalen100 (1928).

  3. 4)

    Brouwer, Über Jordansche Mannigfaltigkeiten, § 6, Math. Annalen71 (1911).

  4. 5)

    Brouwer, Aufzählung der Abbildungsklassen endlichfach zusammenhängender Flächen, Math. Annalen82 (1921); besonders S. 284.

  5. 6)

    H. Kneser, Die kleinste Bedeckungszahl innerhalb einer Klasse von Flächenabbildungen; erscheint in den Math. Annalen.

  6. 7)

    Brouwer, Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl, Math. Annalen70 (1911).

  7. 9)

    J. Nielsen, Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen I, II. Acta mathematica50, 53 (1927, 1929). Man vergleiche besonders die Charakterisierung der Fixpunktklassen in I auf S. 289 unten.

  8. 10)

    Daß die Aufzählung der Gruppenhomomorphismen im allgemeinen (nämlich dann, wenn μ′ nicht die Kugel oder die projektive Ebene ist) mit der Aufzählung der Abbildungsklassen identisch ist, geht aus der unter 5) genannten Arbeit von Brouwer (S. 286) hervor. Die unter 6) genannte Arbeit von Kneser enthält wichtige Beiträge zur Durchführung dieser Aufzählung.

  9. 11)

    Dieser Paragraph, insbesondere sein erster Absatz, ist nur eine Zusammenstellung von Tatsachen, die ziemlich allgemein bekannt sein durften. — Literatur: Poincaré, Analysis Situs, §§ 12, 13, Journ. École Polytechn. (2)1 (1895). — Kerékjártó, Vorlesungen über Topologie (Berlin 1923), V. Abschn., § 2. — J. Nielsen, wie unter 9). — Reidemeister, Fundamentalgruppe und Überlagerungsräume, Nachr. Ges. d. Wiss. Göttingen, Math.-phys. Klasse, 1928. — Schreier, Die Verwandtschaft stetiger Gruppen im großen, § 1, Abhandl. Math. Sem. d. Hamburgischen Universität5 (1927). — Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche (Leipzig-Berlin 1913), § 9.

  10. 12)

    Man ziehew 1 −1 w 1 unter Festhaltung des Endpunktes vonw 1 auf diesen zusammen.

  11. 15)

    Definition der „Kompaktheit vonf in ξ”: Teil I, §4, S. 598.

  12. 16)

    Bis hierher ist von den RäumenM und μ nicht benutzt worden, daß sie Mannigfaltigkeiten, sondern nur, daß sie zusammenhängende, im Kleinen zusammenhängende, im Kleinen kompakte topologische Räume sind, in denen sich jeder hinreichend kleine geschlossen Weg zusammenziehen läßt. — Vpn nun an aber ist es wesentlich, daßM und μ Mannigfaltigkeiten von der gleichen Dimensionszahln sind.

  13. 17)

    Dabei sindu undu′ als Bilder einer festen Kreisliniek aufzufassen und die Entfernung zwischenu undu′ ist das Maximum der Entfernungen der beiden Bilder einesk durchlaufenden Punktes.

  14. 18)

    Teil I, § 3.

  15. 19)

    Teil I, § 5.

  16. 20)

    Teil I, § 4.

  17. 21)

    Folgt aus Teil I, § 1, Satz X, durch Anwendung aufk zueinander fremde Teilelemente vone.

  18. 22)

    Teil I, § 4, Satz Ia.

  19. 23)

    Teil I, § 1, Satz X.

  20. 24)

    Teil I, § 4, Satz II.

  21. 25)

    Teil I, § 1, Satz IX.

  22. 26)

    Diese Möglichkeit der Erweiterung einer Abbildung folgt unmittelbar aus der Möglichkeit, den Definitionsbereich einer stetigen Funktion zu erweitern. Man vgl. Teil I, Fußnote, und die entsprechen de Stelle im Text.

  23. 27)

    Teil I, § 2, Hilfssatz I.

  24. 28)

    Teil I, § 1, Satz IXa.

  25. 29)

    Deutet man die in einer Umgebung von ξ mit ξ als Nullpunkt eingefuhrten euklidischen Koordinaten der Bildpunkte als die Komponenten von Vektoren, die den Punkten vone zugeordnet sind, so ist die hier zu lösende Aufgabe identisch mit der Aufgabe, ein ine gegebenes Vektorfeld, das am Rande den Index 2c hat, durch eine Abänderung im Inneren vone durch ein anderes Vektorfeld, das dort genau zwei Nullstellen mit den Indexenc hat, zu ersetzen; diese „Randwertaufgabe” ist lösbar; siehe H. Hopf, Abbildungsklassenn-dimensionale Mannigfaltigkeiten, § 5, Nr. 4, Math. Annalen96 (1926).

  26. 29a)

    Dies geschieht analog wie in Fußnote H. Hopf, Abbildungsklassenn-dimensionaler Mannigfaltigkeiten”, §5, Nr. 4, Math. Annalen96 (1926) angegeben.

  27. 31)

    Zur Orientierung über die mit der “Homologie” zusammenhängenden Begriffe und Sätze vgl. man: J. W. Alexander, Combinatorial Analysis Situs. Transact. Am. Math. Soc.28 (1926).

  28. 32)

    H. Hopf, On some properties of one-valued transformations of manifolds, Satz Ia. Proc. of the Nat. Acad. of Sciences U.S.A.14 (1928). — Eine ausführliche Darstellung erscheint demnächst unter dem Titel “Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten” im Journ. f. d. reine u. angew. Math.

  29. 33)

    Um den Gegensatz zu dem Wortlaut dieser Sätze vollständig zu machen, hat man die im Text angegebene Abbildung noch durch eine simpliziale Abbildung mit denselben Eigenschaften zu ersetzen, was aber infolge des analytischen Charakters der Abbildung keine Schwierigkeit macht.

  30. 34)

    Pontrjagin, Zum Alexanderschen Dualitätssatz, Zweite Mitteilung, Satz Ia. Nachr. d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-Phys. Klasse (1927). Dort ist der Satz für “Homologien mod 2” bewiesen; der Beweis für gewöhnliche Homologien ist mir aus einer Note von Pontrjagin bekannt, die demnächst veröffentlicht werden dürfte. — In engem Zusammenhang damit stehen die folgenden Arbeiten: van Kampen, Eine Verallgemeinerung des Alexanderschen Dualitätssatzes. Koninkl. Akad. van Wetenschappen te Amsterdam Proc.31 (1928), und: Die kombinatorische Topologie und die Dualitätssätze, Diss. Leiden 1929. — Lefschetz, Closed point sets on a manifold. Annals of Math.29 (1928), sowie die dort zitierten Noten in den Proc. Nat. Acad. (1927).

  31. 35)

    Kerékjártó, Vorlesungen uber Topologie (Berlin 1923), S. 160.

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Erster Teil: Neue Darstellung der Theorie des Abbildungsgrades für topologische Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen100 (1928). Im folgenden als „Teil I” zitiert.

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Hopf, H. Zur Topologie der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten. Math. Ann. 102, 562–623 (1930). https://doi.org/10.1007/BF01782365

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