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Mathematische Annalen

, Volume 102, Issue 1, pp 370–427 | Cite as

Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren

  • J. v. Neumann
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Literatur

  1. 6).
    Vgl. Hausdorff, Umgebungsaxiome und topologisch-lineare Räume: Grundzüge der Mengenlehre, I. Auflage, Leipzig und Berlin 1914.Google Scholar
  2. 8).
    D. h. mitf,g auchaf,f+g enthält. Eine abg. lin M. muß auch noch abg. sein, d. h. alle ihre Häufungspunkte enthalten.Google Scholar
  3. 10).
    Für lin. O. kann die Stetigkeit auf mehrere, gleichwertige Formulierungen zuruckgeführt werden, vgl. E. Satz 12. Eine von diesen ist: Es gebe ein festesc, so daß aus |f|≦1 |Af|≦c folgt.Google Scholar
  4. 11).
    0, 1 sind durch 0f=0, 1f=f zu definieren.Google Scholar
  5. 13).
    Vgl. E. Noether, Math. Annalen 96, 1 (1926), S. 26–61, insbesondere §2; ferner E. Artin, Abh. d. Math. Sem. d. Hamb. Univ.5, 3 (1927), S. 251–260.Google Scholar
  6. 14).
    Fur Matrizen in endlichvieldimensionalen Räumen hat E. Fischer diese Bedingung als erster mit Erfolg eingeführt.Google Scholar
  7. 15).
    Jedes hyperkomplexe System mit endlich vielen Einheiten kann ja durch Matrizen (also Operatoren) eines endlichvieldimensionalen Raumes dargestellt werden.Google Scholar
  8. 19).
    Vgl. Burnside, Proc. London Math. Soc. (2)3 (1905), S. 430. Allerdings nur für unitäre Matrizen!Google Scholar
  9. 20).
    Vgl. Frobenius und I. Schur, Berl. Ber. 1906, S. 209.Google Scholar
  10. 23).
    Es ist wohl nicht mißverständlich, daß wir, wie schon beiR(A), die Menge mit dem einzigen ElementR auchR nennen.Google Scholar
  11. 24).
    Vgl. Toeplitz, Math. Annalen70 (1911), S. 351–376.Google Scholar
  12. 25).
    Zur Präzisierung dieses, die gewöhnliche (reelle) Hilbertsche Spektralform verallgemeinernden Begriffes vgl. E. Anhang II. Der Begriff der Normalität bei endlichvieldimensionalen Matrizen stammt von Frobenius [Journ. f. Math.84 (1877), S. 51–54; er bewies, daß diese und nur diese Matrizen unitär auf die Diagonalform (mit komplexen Diagonalelementen!) transformiert werden können. Im Encyklopädie-Artikel von Hellinger und Toeplitz (II. C. 13, S. 1562–1563) wurde dasselbe für die vollstetigen O. des Hilbertschen Raumes gezeigt. In E. Anhang I bewies der Verf., daß alle beschr. normalen O. auf die komplexe Hilbertsche Spektralform gebracht werden können (das ist eben das Äquivalent der Diagonalform). Hier soll die Theorie vervollständigt und auf unbeschr. O. ausgedehnt werden. — Unabhängig vom Verf., und unter Verwendung einer anderen Methode, hat seither A. Wintner die unitären O. (die ein Spezialfall der beschr. normalen sind) cbenfalls auf die Spektralform gebracht. Vgl. Math. Zeitschr.30, 1/2 (1929), S. 228–282.Google Scholar
  13. 26).
    Vgl. E., Einleitung VII.Google Scholar
  14. 27).
    Vgl. Weyl, Dissertation Göttingen 1908, S. 8–9.Google Scholar
  15. 28).
    Vgl. Hausdorff, Grundzuge der Mengenlehre, I. Auflage, Leipzig und Berlin 1914; daselbst wird auf diesen Umgebungsbegriff die ganze Topologie aufgebaut. Wir erwähnen, wie Häufungspunkte und Limites zu definieren sind. Ein Punkt ist Häufungspunkt einer Menge, wenn jede seiner Umgebungen Punkte der Meuge enthält; er ist Limes einer Folge, wenn jede seiner Umgebungen alle Punkte derselben, mit endlich vielen Ausnahmen, enthält. Man erkennt muhelos: Limes sein, heißt Häufungspunkt von jeder unendlichen Teilmenge der Folge sein.Google Scholar
  16. 30).
    Weyl (vgl. Anm. 27)) Dissertation Göttingen 1908, S. 8–9. definiert sie etwas anders als wir. Vgl. S. 9 a. a. O.Google Scholar
  17. 34).
    Alle Aussonderungsmethoden (bei Konvergenzbeweisen) im Hilbertschen Raume kommen darauf heraus.Google Scholar
  18. 36).
    A * darum, weil aus |Af|≦c·|f| (für allef) |A * f|<=c·|f| folgt — da diese Aussagen mit |(Af, g)|≦c·|f||g| bzw. |(A * f, g)|≦c·|f||g| (für allef, g, vgl. E., Satz 12 β)) gleichwertig sind und (A * f, g)=(Ag, f) ist.Google Scholar
  19. 37).
    Aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt, da * für sie stetig ist, auch die starke Doppelkonvergenz.Google Scholar
  20. 38).
    Also ist ν in μ stark wie schwach überall dicht, wir können insbesondere μ=β setzen. Für die gleichmäßige Topologie ist dies gewiß falsch, da dort leicht eine Menge von Kontinuum vielenA angegeben werden kann, die paarweise die Entfernung 1 haben. — Wenn wir μ einer Kugel κ gleichsetzen, so können wir in κ aus der Gültigkeit des ersten Abzählbarkeitsaxioms (im starken wie im schwachen Sinne) leicht auch die des zweiten folgern (vgl. Anm.29),33)). Wir erwähnen noch, daß die schwache Topologie in κ kompakt ist (vgl. Ende von 1. und Anm.34)).Google Scholar
  21. 40).
    Man beachte: schwach abg. ist mehr wie stark abt.!Google Scholar
  22. 41).
    Die Vereinigungsmenge von μ mit der 1.Google Scholar
  23. 44).
    Die Rechnung entspricht in allen Einzelheiten der in E. Anhang I (beim Beweis von Satz 14*) für unitäre O. ausgeführten. Der Kunstgriff geht auf F. Riesz. zuruck.Google Scholar
  24. 47).
    Es ist (2E−1)*=2E−1, (2E−1)2=4E 2−4E+1=1.Google Scholar
  25. 49).
    Vgl. E., Einleitung III.Google Scholar
  26. 52).
    Vgl. Rend. d. Circ. Mat. d. Palermo25 (1908), S. 57–73.Google Scholar
  27. 56).
    Man beachte, daß zu diesem Beweise die Z. d. E. gegebener H. O. herangezogen werden mußten, während umgekehrt aus dem F. Rieszschen Satze deren Existenz bewiesen werden kann.—Über die hier in E. Anhang II verwendeten Stieltjes-Radonschen Doppelintegrale vgl. Wiener Akad.122, 2 (1913), S. 1295–1438, insbesondere §§ I–II.Google Scholar
  28. 58).
    Daß bei dieser Definition das kommutative und assoziative Gesetz der Addition sowie das assoziative der Multiplikation gelten, ist klar. Vom distributiven gilt immer (R±S)·T=R·T±S·T, dagegenR·(S±T)=R·S±R·T nur für lin. und überall sinnvollesR (istR nur lin., so ist die linke Seite Fortsetzung der rechten). Es istR+0=R, 1·R=R·1=R,R·0=0 (wennRf fürf=0 verschwindet) dagegen 0·R nur dort definiert, woR es ist. Analog gestaltet sich das Verhältnis von—und—. Man sieht: im Unbeschränkten sind die Operationen +,−,· nicht mehr so durchsichtig wie im Beschränkten.Google Scholar
  29. 60).
    Jede der letztgenannten Relationen folgt aus der anderen: denn das auf den Definitionsbereich derR, R * eingeschränkteS, S * ist noch immer ein konj. Paar.Google Scholar
  30. 71).
    Diese und ähnliche Klassen von Matrizen hat Toeplitz mit funktionentheoretischen Fragen in Beziehung gebracht. Vgl. auch a. a. O. Anm. 24).Google Scholar
  31. 72).
    Beim Beweise von Satz 14 sahen wir (R)'=(R, R*)', also=(S 1,S 2)'; (R)″=(S 1,S 2)'.Google Scholar
  32. 73).
    Vgl. E., Anhang III, ferner die demnächst im Journal f. Math. erscheinende Arbeit des Verfassers „Zur Theorie der unbeschränkten Matrizen”.Google Scholar
  33. 75).
    Vgl. E. Schmidt, am in Anm. 52) Vgl. Rend. d. Circ. Mat. d. Palermo25 (1908), S. 57–73 a. O. Siehe auch E. § 1, Satz 8.Google Scholar

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© Verlag von Julius Springer 1930

Authors and Affiliations

  • J. v. Neumann
    • 1
  1. 1.Berlin

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