Mathematische Annalen

, Volume 102, Issue 1, pp 49–131

Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren

  • J. v. Neumann
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Literatur

  1. 1).
    Die Funktionen dürfen komplexe Werte haben.Google Scholar
  2. 4).
    Hellinger, Göttinger Inaugural-Dissertation 1907, S. 7; Carleman, Sur les équations intégrales à noyau réel et symétrique, Upsala 1923, S. 82.Google Scholar
  3. 5).
    Das Eigenwertproblem der Integralgleichungen mit „beschränktem” Kerne wurde von Weyl gelöst (Göttinger Inaugural-Dissertation 1908) mit Hilfe der Hilbertschen Theorie der beschränkten Bilinearformen (Göttinger Nachr. 1906, S. 157–209). Auch für eine ausgedehnte Klasse selbstadjungierter Differentialoperatoren zweiten Grades, deren Koeffizienten singulär sein dürfen, erledigte Weyl das Eigenwertproblem (Math. Annalen68 (1910), S. 220–269). Eine noch allgemeinere Klasse von Integral-operatoren untersuchte Carleman (vgl. Anm. 4) Hellinger, Göttinger Inaugural-Dissertation 1907, S. 7).Google Scholar
  4. 7).
    Die vollstetigen und die beschränkten Formen (bzw. Operatoren) wurden von Hilbert entdeckt, und er löste ihre Eigenwertproblem (Göttinger Nachr. 1906, S. 157–209), weiter untersucht wurden die beschränkten Bilinearformen von Hellinger, vgl. Anm. 4) Hellinger, Göttinger Inaugural-Dissertation 1907, S. 7, sowie Journal f. Math.136 (1909), S. 210–273.Google Scholar
  5. 8).
    Z. B. Göttinger Nachr. 1907, S. 116–122.Google Scholar
  6. 9).
    Den Beweis dieser, allgemein bekannten, Tatsachen (zusammen mit dem Fischer-F. Rieszschen Satze) werden wir im Kap. I und im Anhang I erbringen.Google Scholar
  7. 10).
    Dies ist insofern historisch ungenau, als der Fischer-F. Rieszsche Satz erst nachher gefunden wurde. Dieselben Überlegungen haben in der neuen Quantentheorie eine wichtige Rolle gespielt, vgl. Schrödinger, Annalen d. Phys.79, 8 (1926), S. 734–756.Google Scholar
  8. 11).
    Z. B. Rend. d. Circ. Mat. d. Palermo25 (1908), S. 57–73.Google Scholar
  9. 14).
    Was bei überall sinnvollen OperatorenA, B unterAB zu verstehen ist, ist klar.Google Scholar
  10. 15).
    Stieljessches Integral!Google Scholar
  11. 19).
    Der unter anderem der Anhang IV dieser Arbeit gewidmet wird.Google Scholar
  12. 21).
    Bei singulären Integraloperatoren fand schon Carleman Zeichen dieser Mehrdeutigkeit, jedoch konnte er in diesem Falle das Eigenwertproblem nicht ganz lösen (es fehlte das Analogon der entscheidenden Bedingung (α) aus IV.). Vgl. Anm. 4). Hellinger, Göttinger Inaugural-Dissertation 1907, S. 7.Google Scholar
  13. 22).
    Vgl. eine demnächst im Journal f. Math. erscheinende Arbeit des Verfassers: „Zur Theorie der unbeschränkten Matrizen”.Google Scholar
  14. 23).
    Der Verfasser konnte mit dieser Methode den Fall reeller H. O. (vgl. Anm. 20)) erledigen, wo der in VII. angedeutete Ausnahmefall noch nicht in Erscheinung trat. Dabei konnte aber der Fortsetzungsprozeß der H. O. nicht so übersehen werden, wie es etwa im Kap. VIII der Fall sein wird, und die Methode war derart unkonstruktiv, daß dabei z. B. der Wohlordnungssatz herangezogen werden mußte (vgl. die Ankündigung im Jahresber. d. D. Math.-Ver.37, 1–4 (1928), S. 11–15), auch war den nichtreellen H. O. so nicht beizukommen. — Der Verfasser möchte es nicht versäumen, Herrn E. Schmidt an dieser Stelle seinen Dank für das Interesse auszusprechen, das er diesen untersuchungen (insbesondere der Übertragung der Resultate auf nicht-reelle H. O.) zugewandt hat, und darauf hinweisen, daß er wiederholt wesentliche Anregungen aus Gesprächen mit ihm empfing. Insbesondere stammt der Begriff der „Hypermaximalität” von H. O. (vgl. Def. 9), sowie die Erkenntnis, daß diese Eigenschaft für die Existenz der Z. d. E. notwendig und hinreichend ist, von E. Schmidt.Google Scholar
  15. 24).
    Dieselbe wird in der in Anm. 22) angekündigten Arbeit des Verfassers noch bedeutend verschärft werden.Google Scholar
  16. 25).
    Dies ergibt, zusammen mit einigen Überlegungen von Kap. I, natürlich einen Beweis des Fischer-F. Rieszschen Satzes.Google Scholar
  17. 26).
    Es kommt im wesentlichen daraut heraus, daß zwei vertauschbare beschränkte H. O. eine gemeinsame Eigenwertform (oder Spektralform) nach Hilbert zulassen. Vgl. Hellinger-Toeplitz, Encyklopädie-Artikel II, C. 13, S. 1562 u. f., wo die Frage für vollstetige H. O. gelöst wird.Google Scholar
  18. 29).
    Dies ist offenbar eine stetigkeits-ähnliche Eigenschaft, und zwar in jedem “kompakten” topologischen Raume der Stetigkeit gleichwertig. Im Hilbertschen Raume bedeutet sie aber viel weniger, für H.O. ist sie im wesentlichen immer da, vgl. Satz 9.Google Scholar
  19. 30).
    So weit schwächen wir (mit Rucksicht auf die Anwendung auf Matrizen, vgl. Anhang III) die Bedingung γ) von Einleitung V ab: dort wurde Überalldichtheit des Definitionsbereiches verlangt.Google Scholar
  20. 31).
    Er stammt von Herrn E. Schmidt, vgl. Anm. 23). Bei Beschränkung auf den reellen Hilbertschen Raum tritt die Unterscheidung max. — hypermax. nicht auf.Google Scholar
  21. 32).
    Für einen H. O. muß jedes (f, Rf) reell sein, da ja (f, B f)=(Rf, f)=(f, Rf) gilt.Google Scholar
  22. 33).
    Jede Teilmenge einer separablen topologischen Menge ist wieder separabel (siehe z. B. Hausdorff, Einfuhrung in die Mengenlehre, Leipzig-Berlin 1914).Google Scholar
  23. 34).
    D. h. wennEf sinnvoll ist, so ist es auchE(Ef), und zwar=Ef.Google Scholar
  24. 36).
    0, 1 sind zwei überall sinnvolle Operatoren, durch 0f=0, If=f definiert.Google Scholar
  25. 37).
    Da es sich um überall sinnvolle Operatoren handelt, dürfen wir rubigEF, E±F bilden; sonst wären die Definitionsbereiche dieser Operatoren noch genauer zu erörtern.Google Scholar
  26. 38).
    Dieser Kunstgriff stammt von Herrn E. Schmidt.Google Scholar
  27. 39).
    Denn wennE Teil vonF ist, so ist 1-F Teil von 1-E, z. B. darum, weil (1-E)(1-F)=1-E-F+EF=1-F ist.Google Scholar
  28. 42).
    Zunächst wissen wir nur, daß jedes abg. lin. H. O.R genau eine Cayleysche TransformierteU (längentreu) hat. Der Gültigkeitsbereich der Umkehrung wird aus Satz 24 hervorgehen.Google Scholar
  29. 43).
    Zunächst wissen wir nur, daß jedes abg. lin. H. O.R genau eine Cayleysche TransformierteU (längentreu) hat. Der Gültigkeitsbereich der Umkehrung wird aus Satz 24 hervorgehen.Google Scholar
  30. 43).
    Denn die ϕ-Uϕ umfassen die ϕ-Vϕ, liegen also wie diese überall dicht.Google Scholar
  31. 44).
    Die wegen der Endlichkeit vonn von selbst abg. ist.Google Scholar
  32. 45).
    Diese Ausnahme wird sich im folgenden als praktisch erweisen.Google Scholar
  33. 48).
    Stieljessches Integral, es ist absolut konvergent. Wir schreiben ϱ statt λ.Google Scholar
  34. 50).
    Durch ϱ=−1/π arc ctg λ, λ=−ctg πϱ werden die Intervalle 0<ϱ<1 und −∞<λ<∞ ein-eindeutig aufeinander bezogen. (Beim arc ctg ist immer der Wert >−π,<0 zu nehmen.)Google Scholar
  35. 51).
    Es genügt, sich die Definition des Stieltjesschen Integrals zu vergegenwärtigen. Die genannte Ungleichung ist nur eine veränderte Schreibweise der Schwarzschen.Google Scholar
  36. 53).
    Für ϱ′>ϱ ist ja (E(Min (ϱ, ϱ′)) ϕ,g) konstant, also das Integral 0!Google Scholar
  37. 54).
    Man nehme mitg=ϕ das komplex-Konjugierte der letzten Formel.Google Scholar
  38. 58).
    Der Satz gilt wohl auch noch fürC′=C, es liegt aber kein Beweis dafür vor.Google Scholar
  39. 59).
    Bei sinnvollenRf 1, ...,Rf k hatten wir dies schon am Anfange des Beweises von Satz 44, aber wir müssen uns von dieser Annahme befreien.Google Scholar
  40. 61).
    Die Gleichwertigkeit von α) und γ) ist der bekannte Satz von Toeplitz, Math. Annalen69 (1911), S. 321.Google Scholar
  41. 62).
    ±,· sind hier die Zeichen für das Vereinigen, Abziehen und Durchschnitts-Bilden bei Mengen.Google Scholar
  42. 63).
    Wir nehmen natürlich nur die von endlichem Maße.Google Scholar
  43. 64).
    Bei Matrizen ist dieses* das Nehmen der konjugiert-transponierten, ebenso bei Integraloperator-Kernen, bei Differentialoperatoren die adjungierte.Google Scholar
  44. 65).
    Es handelt sich um überall sinnvolle Operatoren, daher sind die +,−,· ohne weiteres sinnvoll (vgl. Anm. 37)).Google Scholar
  45. 66).
    WennU unitär ist, so hat es eine InverseU −1, und es ist (f, U −1 g)=(Uf, UU −1 g)=(Uf, g) =(f, U * g) für allef, g, alsoU −1=U *. WennU −1=U * ist, so ist (Uf, Ug)=(f, U * Ug)=(f,g), also fürf=g |Uf|=|f|, so daßU längentreu ist; da es überall Sinn hat und alle Werte annimmt (U −1 hat ja überall Sinn!), ist es unitär.Google Scholar
  46. 68).
    Vgl. hierzu Einleitung IX und Anm.26).Google Scholar
  47. 79).
    Sie wird in der in Anm. 22) genannten Arbeit erörtert werden.Google Scholar

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© Verlag von Julius Springer 1930

Authors and Affiliations

  • J. v. Neumann
    • 1
  1. 1.Berlin

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