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Über die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten

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Literatur

  1. 1)

    Es kommen vor allem die folgenden Arbeiten in Betracht: „Analysis situs”, Journal d. l'École polytechnique, 2. sér., Cah. 1; „Complément à l'Analysis situs”, Rend. d. Circ. mat. d. Palermo, t. 13; „Second Complément à l'Analysis situs”, Proceed. Lond. Math. Soc. 32; „Cinquième Complément à l'Analysis situs”, Rend. d. Circ. mat. d. Palermo, t. 18. Im folgenden sollen diese Arbeiten abgekürzt mit „An. Sit.”, „Compl. 1” u. s. w. zitiert werden. — Das 3. und 4. Complément (Bull. d. l. Soc. Math. d. France t. 30 und Liouv. Journ. 5. ser., t. 8) hat ebenso wie die Arbeit „Sur les périodes des intégrales doubles” (Liouv. J. 6. ser. t. 2) die Anwendung der Analysis Situs auf die algebraischen Flächen zum Gegenstand.

  2. 2)

    Über einige der Ergebnisse habe ich in der Wiener Akad. d. Wiss. einen Vorbericht gegeben. (Siehe Wr. Ber. 115, IIa, S. 841, und Anzeiger 1906, Math. nat. Kl. S. 349.)

  3. 3)

    Math. Ann. 32 und 37.

  4. 4)

    Dehn-Heegaard, Analysis Situs, Enz. III A B 3.

  5. 5)

    Man vergleiche hierüber den eben zitierten Enz.-Art. Grundlagen, Nr. 8.

  6. 6)

    Hieher gehören auch einzelne jener Stellen (besonders im II. Abschnitte), in denen gewisse Annahmen auf ihre Zulässigkeit oder Wahrscheinlichkeit him diskutiert werden. In manchen der zur Verwendung kommenden Beispiele werden über den Sachverhalt unter Berufung auf die Anschauung Aussagen gemacht, die also, ebenso wie die daraus abgeleiteten Aussagen über die besprochenen Annahmen, nicht als strenge begründet, sondern nur als plausibel bezeichnet werden können.

  7. 1)

    Es ist das die von Hurwitz am Züricher Kongreß (1892) zum Ausdruck gebrachte Auffassung. (Verhandlungen des Internation. Mathem. Kongr. Zürich, S. 102.)

  8. 2)

    An. Sit. § 2. An der zitierten Stelle ist nur von kontinuierlichen Mannigfaltigkeiten die Rede.

  9. 3)

    So erscheint für die Theorie der algebraischen Funktionen zweier komplexer Veränderlicher die Kenntnis der Analysis situs der zusammenhängenden vierdimensionalen Punktmannigfaltigkeiten wünschenswert. Hiezu ist allerdings zu bemerken: Die Cremonatransformationen des Raumes zweier komplexer Veränderlicher sind nicht durchaus punktweise eineindeutig, sondern führen zweidimensionale Punktmannigfaltigkeiten in Punkte über und umgekehrt, und das gleiche kommt auch bei birationalen Transformationen algebraischer Flächen aufeinander vor. Hiedurch wird es möglich, daß sich topologische Invarianten von durch algebraische Flächen repräsentierten vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten bei birationalen Transformationen ändern. (Siehe Picard, C. R. 134. p. 629, und die oben zitierte Abhandlung Poincarés in Liouv. Journ., 6. sér., t. 2.) Für funktionentheoretische Probleme kann es also nötig werden, andere Transformationen als die ausnahmslos umkehrbar eindeutigen heranzuziehen und die Invarianten gegenüber diesen Transformationen zu studieren.

  10. 4)

    Um diese Richtung zu kennzeichnen, genügt es, an die bekannten Resultate von C. Jordan zu erinnern und auf eine Reihe in letzter Zeit erschienener Arbeiten von A. Schoenflies hinzuweisen.

  11. 5)

    Verschiedene derartige Darstellungsformen von Mannigfaltigkeiten, wie durch GleichungenF i (x 1,x 2, ...x n )=0 zwischen den Koordinaten oder durch Parameterdarstellungen werden von Poincaré (An. Sit. §§ 1, 3, 15) besprochen. Dabei werden z. B. die FunktionenF i als differenzierbar, gelegentlich auch als analytisch vorausgesetzt. (Es ist klar, daß die Annahme, die FunktionenF i seien blos stetig, auf viel zu allgemeine Punktmengen führt.) Freilich geht beim Übergang von einer so definierten Mannigfaltigkeit zu einer ihr homöomorphen Punktmenge die Darstellbarkeit durch Gleichungen mit diesen Eigenschaften im allgemeinen verloren. Der Forderung, daß, wenn eine Punktmenge als eine Mannigfaltigkeit angesehen wird, dies auch für alle homöomorphen Punktmengen gilt, mag man dann dadurch entsprechen, daß man eben als Mannigfaltigkeit eine Punktmenge bezeichnet, die entweder selbst einer derartigen Darstellung mittels Funktionen von vorgeschriebener Beschaffenheit fähig ist, oder einer derart dargestellten Punktmenge homöomorph ist. Derartige Härten in den Definitionen haften naturgemäß einer Begründung des Mannigfaltigkeitsbegriffes mittelst einer bestimmten Darstellungsform an. Offenbar ist es auch erforderlich, jede Eigenschaft, die als eine topologische eingeführt wird, für die in der betrachteten Art dargestellten Mannigfaltigkeiten als invariant nachzuweisen gegenüber beliebigen eineindeutigen und umkehrbar stetigen Transformationen, also z. B. im vorliegenden Fall nicht bloß für Transformationen, die durch differenzierbare oder analytische Funktionen vermittelt werden. Es sei vorweg bemerkt, daß die Erfüllung dieser Forderung für die im Folgenden besprochene Darstellung durch ein „Schema” auf das engste zusammenhängt mit dem Nachweis des später besprochenen Satzes (§ 2), daß zwei Schemata, die homöomorphe Mannigfaltigkeiten definieren, selbst homöomorph sind.

  12. 6)

    Man sehe etwa Math. Ann. 21, S. 141.

  13. 7)

    Außer Punktmannigfaltigkeiten können auch Mannigfaltigkeiten von anderen Elementen in Betracht gezogen werden (vgl. Klein, Math. Ann. 9, S. 480, und Bd. 21, S. 154), die aber, sofern die Elemente durch eine endliche Anzahl von Koordinaten festlegbar sind, nichts Neues liefern.

  14. 8)

    Wird von einem Punkte der Mannigfaltigkeit in diesem weiteren Sinne gesprochen, so ist dabei an eine bestimmte zwischen je zwei Repräsentanten bestehende umkehrbar stetige und eineindeutige Beziehung zu denken, die so gewählt ist, daß, wennA, B, C irgend drei Repräsentanten der Mannigfaltigkeit sind, vermöge der Beziehungen zwischenA undC, bezw.B undC, demselben Punkt vonC entsprechende Punkte vonA undB auch einander durch die Beziehung zwischenA undB zugeordnet sind.

  15. 9)

    Da der Ausdruck Zellensystem insbesondere den Mannigfaltigkeiten von drei und mehr Dimensionen angepaßt erscheint, soll für den allgemeinen Fall vorwiegend das Wort Schema gebraucht werden, allerdings in etwas anderer Bedeutung als bei Poincaré (Compl. 1, § 2, p. 290), der darunter das versteht, was im folgenden (s. § 5) als Poincarésches Relationensystem bezeichnet ist. Um nicht neue Wortbildungen zu häufen, habe ich diese Abänderung in der Bedeutung vorgenommen.

  16. 10)

    Die besprochene Darstellung erscheint bei Poincaré nicht als Grundlage, sondern als gewonnen durch Zerlegung von analytisch definierten Mannigfaltigkeiten. Eine Entwicklung der Analysis situs zweidimensionaler Mannigfaltigkeiten, die auf die Zusammensetzung derselben durch Flächenstücke basiert ist, ist mir zuerst aus Vorlesungen von Professor Wirtinger (über algebraische Funktionen, Wien, Sommer 1904) bekannt geworden, der auch auf die kombinatorische Seite dieser Entwicklung hingewiesen hat. Diesen Vorlesungen zusammen mit einer späteren persönlichen Mitteilung über die analoge Darstellung dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten verdanke ich die Anregung zu den dem vorliegenden Aufsatz zu grunde liegenden Studien. Was die kombinatorische Seite der folgenden Ausführungen, insbesondere den schrittweisen Aufbau der Schemata von wachsender Dimensionszahl betrifft, so decken sich die Ausführungen mit denjenigen Dehns in dem bereits genannten Enzykl.-Artikel.

  17. 1)

    Die Wahl dieses Sinnes ist nicht als ein wesentliches Bestimmungsstück des Schema, sondern nur als ein Hilfsmittel für die Beschreibung der im folgenden den auseinandergesetzten Zuordnungen anzusehen. Wenn es sich jedoch darum handelt, die Mannigfaltigkeiten (und zwar die zweiseitigen) nicht als solche, sondern mit Rücksicht auf einen ihnen beigelegten Sinn zu betrachten, kommt die Wahl des Sinnes der das Schema konstituierenden Flächenstücke zur Geltung. Wir kommen hierauf in § 4 zu sprechen.

  18. 2)

    Im Fallen=1 hat man einen Teilungspunkt auf dem Kreisumfang, der gleichzeitig AnfangspunktA 11 und EndpunktA 12 der einzigen Seites 1 ist.

  19. 3)

    Man vergleiche hieze Poincaré, Compl., 5, pag. 52, 53. Poincaré hat in seinen Arbeiten auf die, älteren und kürzeren Bezeichnungen „zweiseitig”, „einseitig” (bilatère, unilatère) zurückgegriffen. Doch ist zu beachten, daß diese Ausdrücke an, eine Lagenbeziehung der zweidimensionalen (n-dimensionalen) Mannigfaltigkeit zu einem dreidimensionalen ((n+1)-dimensionalen) Raum, in dem gelegen sie vorgestellt werden, anspielen, während sie keine derartigen zu einer gewissen Lagerung relativen, sondern der Mannigfaltigkeit selbst inhärente, absolute Eigenschaften ausdrücken. Hierauf hat Klein (Math. Ann 9, S. 479) hingewiesen und Dyck (Math. Ann. 32, S. 473) mit Rücksicht hierauf statt zweiseitig und einseitig die Bezeichnungen „mit nicht umkehrbarer Indikatrix” und „mit umkehrbarer Indikatrix” verwendet. Unter einer Indikatrix einer zweidimensionalen MannigfaltigkeitV ist dabei eine um einen InnenpunktA vonV gezogene kleine geschlossene Linie, auf der drei Punkte markiert und mit 1, 2, 3 bezeichnet sind, z. B. ein kleines Dreieck oder ein Kreis mit drei markierten Punkten, zu verstehen. Führt man nun längs eines Weges inV, der vonA nachA zurückführt, diese geschlossene Linie mit, so daß sie stets genügend kelin bleibt und eine Indikatrix um einen Punkt des Weges darstellt und bringt man sie, inA angelangt, mit ihrer Anfangslage so zur Deckung, daß die drei markierten Punkte mit den markierten Punkten in der Anfangslage, und zwar 1 mit 1, zusammenfallen, so können die Punkte 2, 3 in der neuen Lage entweder mit den Anfangslagen von 2, 3 oder von 3, 2 zur Deckung kommen. Dementsprechend sind die Wege inV in solche, auf denen sich „die Indikatrix nicht umkehrt” und solche, auf denen sie sich umkehrt, zu unterscheiden. Die zweiseitigen Mannigfaltigkeiten sind nun gerade dadurch charakterisiert, daß Wege von der zweiten Art in ihnen nicht vorkommen.

  20. 4)

    Die (n−1)-dimensionalen Randmannigfaltigkeiten einern-dimensionalen Mannigfaltigkeit mögen nach Poincaré (An. Sit. p. 6) als eigentliche Randmannigfaltigkeiten (véritables variétés frontières) von den übrigen unterschieden werden. Die genannten Punkte stellen sonach uneigentliche Randmannigfaltigkeiten der zweidimensionalen Mannigfaltigkeit dar. Bezüglich der auf den eigentlichen Randmannigfaltigkeiten gelegene Punkte möge festgesetzt werden, daß sie zur Mannigfaltigkeit hinzuzurechnen sind.

  21. 5)

    Hierin liegt eine leichte Abweichung von der von Poincaré getroffenen Festsetzung (vgl. An. Sit. pag. 7), derzufolge bei geschlossenen Mannigfaltigkeiten uneigentliche Randmannigfaltikeiten auftreten dürfen., Vgl. § 15, Anm. 9.

  22. 6)

    Bei Poincaré „polyèdre” genannt (An. Sit., p. 101).

  23. 7)

    Bei Poincaré: „polyèdre dérivé” (An. Sit. p. 101).

  24. 8)

    Dieser Satz bildet den Gegenstand des § 19.

  25. 9)

    Wenn diese Annahme, die besagt, daß in der zweidimensionalen Mannigfaltigkeit, die sowohl durch das eine wie durch das andere Schema definiert wird, die beiden Kantensysteme der beiden Schemata sich nur in einer endlichen Anzahl von Punkten schneiden nicht erfüllt ist, so werden gewisse Polygone in unendlich viele Stücke zerlegt werden. Noch kompliziertere Verhältnisse können bei Schematen homöomorpher dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten vorliegen, wo gewisse Zellen des einen Schema durch die Lamellen des anderen Schema in unendlich viele Stücke zerlegt werden können, unter denen sich auch solche von unendlich hohem Zusammenhang (denen eine endliche Bettische ZahlP 1 nicht zukommt) finden können. Auch versagen die Überlegungen des Textes, wenn es sich um mehr als zweidimensionale Mannigfaltigkeiten mit uneigentlichen Randmannigfaltigkeiten handelt. (Siehe § 15, Anm. 5.)

  26. 10)

    Wir werden im Folgenden der Bequemlichkeit halber bisweilen statt „ein Schema einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit” kurz „ein zweidimensionales Schema” und analog ein „n-dimensionales Schema” sagen. Dem Schema selbst das Beiwort zweidimensional beizufügen, mag darin seine Rechtfertigung finden, daß mit Rücksicht auf die vorstehenden Bemerkungen den Schematen unabhängig von den durch sie definierten Punktmannigfaltigkeiten eine selbständige Bedeutung beigemessen werden kann.

  27. 12)

    Poincaré, Compl. 1, § 7. („polyèdre reciproque”).

  28. 1)

    Es kann der Fall vorkommen, daß ein Polygon längs einer Kante der Polygoneinteilung an sich selbst stößt. Eine solche Kante repräsentiert natürlich zwei Seiten des Polygons, deren positive Richtungen bezüglich desselben einander entgegengesetzt sind.

  29. 2)

    Diese Bedingung hat nur für Polygone von mehr als zwei Seiten einen Inhalt.

  30. 3)

    Die Wahl dieser Richtung stellt ebenso wie die des positiven Umlaufssinnes der Polygone auf der Kugelfläche nicht ein wesentliches. Merkmal des dreidimensionalen Schemas, sondern ein bloßes Hilfsmittel zur Beschreibung der Zuordnungsverfüggen vor.

  31. 4)

    Diese Bedingung stellt einen speziellen Fall einer in § 4 bei Besprechung dern-dimensionalen Schemata erwähnten Bedingung vor, die darauf hinaus kommt, daß Zuordnungen zwischen den betrachteten geometrischen Figuren (hier: den Kanten) stets so beschaffen sein sollen, daß aus denselben eine bestimmte Zuordnung ihrer Randelemente (hier: der Kantenendpunkte) abgeleitet werden kann.

  32. 5)

    Vgl. hierüber Poincaré, An. Sit. p. 52–55.

  33. 6)

    Die durch eines dieser zusammenhängenden Schemata definierte Mannigfaltigkeit mag die Umgebungsmannigfaltigkeit der betreffenden „Ecke des dreimensionalen Schemas” (siehe zwei Seiten weiter im Text) genannt werden.

  34. 7)

    Aus der punktweisen Beziehung der Polygone aufeinander folgt nämlich eine Beziehung zwischen den Punkten je zweier im Zykel aufeinander folgender zugeordneter Kanten. Sind nunk 1 ,k 2 , ...k m die Kanten eines geschlossenen Zykels, so entspricht infolgedessen einem PunkteP 1 vonk 1 ein bestimmter PunktP 2 vonk 2, diesem ein PunktP 3 vonk 3 u. s. f., schließlich dem PunkteP m vonk m ein Punkt vonk 1. Daß nun dieser Punkt gerade wieder der PunktP 1 sei, ist die Bedingung, der die punktweisen, Beziehungen zu genügen haben. Die Erfüllbarkeit derselben ist durch die oben erwähnte Voraussetzung über die Zahl der Seitenzuordnungen zweiter Art gewährleistet.

  35. 8)

    Als Indikatrix (vgl. § 2, Anm. 3) einer dreidimensionalen MannigfaltigkeitV kann man eine um einen InnenpunktA vonV gelegte Tetraederoberfläche, oder überhaupt eine einfach zusammenhängende geschlossene Fläche mit einer gleichartigen Einteilung, in vier Dreiecke, wählen, wobei die vier Ecken des Tetraeders mit 1, 2, 3, 4 bezeichnet sein sollen. Führt man die Indikatrix nun längs eines Weges vonA nachA und bringt die Tetraederkanten und-ecken mit der alten Lage derselben so zur Deckung, daß 1 sowohl wie 2 in ihre alten Lagen kommen, so können 3, 4 entweder ihre alte Lage erhalten oder ihre Lage vertauscht haben. Die Wege inV unterscheiden sich demgemäß in solche, auf denen sich die Indikatrix nicht umkehrt, und solche, auf denen sie sich umkehrt. In analoger Weise kann die Indikatrix fürn-dimensionale Mannigfaltigkeiten eingeführt werden.

  36. 9)

    Wir führen für die zweidimensionalen Elemente einesn-dimensionalen Schemas die Bezeichnung „Lamelle” ein., da das Wort „Flächenstück” in § 5 in anderer Bedeutung (nämlich zur Bezeichnung des Speziallfallesm=2 des in einer Mannigfaltigkeit gelegenen Raumstückes) verwendet wird. Nur im Fallen=2 (§ 2) wurde, dem üblichen Sprachgebrauch zuliebe das Wort „Flächenstück” für die zweidimensionalen Elemente des Schemas beibehalten.

  37. 10)

    Falls der herausgegriffene Zyklus zugeordneter Kanten ein geschlossener ist und eine Vorschrift besteht, laut welcher das durch denselben repräsentierte

  38. 12)

    Dasselbe kann um so mehr übergangen werden, als Poincaré die Bildungsweise des reziproken Schemas im Falle dreier Dimensionen ausführlich dargestellt hat (Compl. 1, § 7, p. 314–316).

  39. 13)

    Vgl. hiezu eine Bemerkung von Poincaré (Compl. 1, § 10, p. 336) über die dem „arithmetischen” Beweise zu Grunde liegenden Voraussetzungen.

  40. 3)

    Man vergleiche P. Heegaard, Forstudier til en topologisk Teori for de algebraiske Fladers Sammenhaeng. (Dissertation, Kopenhagen 1898), § 10.

  41. 4)

    Die Wahl eines Sinnes für die konstituierenden Strecken des Schema einer eindimensionalen Mannigfaltigkeit gestattet die Zuordnungen der Streckenendpunkte in solche von erster und zweiter Art zu unterscheiden, je nachdem ein früherer Endpunkt einem späteren oder aber zwei frühere, bezw. zwei spätere Endpunkte einander zugeordnet werden. Definiert man die Begriffe „zweiseitig” und „einseitig” für zusammenhängende eindimensonale Mannigfaltigkeiten in gleicher Weise, wie dies für Mannigfaltigkeiten von mehr Dimensionen geschah, so zeigt sich sofort, daß einseitige eindimensionale Mannigfaltigkeiten nicht auftreten können.

  42. 5)

    Falls das Schema aus einer einzigen Strecke, zwischen deren Endpunkten keine Zuordnung getroffen ist, besteht, so ist unter dem Sinn der Mannigfaltigkeit der Sinn dieser Strecke zu verstehen.

  43. 1)

    s. Poincaré, Compl. 1, p. 291; vgl. auch hiezu die Zuordnung von Zahlen zu den Punkten, Linien, u. s. w. einer Mannigfaltigkeit zu Beginn des § 18 der An. Sit. (p. 114).

  44. 4)

    Die linke und rechte Seite einer Kongruenz mit einander zu vertauschen, soll nicht gestattet sein.

  45. 6)

    Bezüglich einseitiger Mannigfaltigkeiten sehe man § 9 nach.

  46. 7)

    Fürm>1 läßt sich dieser Satz offenbar nicht umkehren.

  47. 8)

    Die Aussage dieses Satzes setzt voraus, daß auch die einzelnen (m−1)-dimensionalen Raumstücke, aus denen die Berandung deru i m sich zusammensetzt, keine Innenpunkte gemein haben.

  48. 9)

    Der Satz ist offenbar nicht umkehrbar.

  49. 10)

    Von Poincaré wird dieses Relationensystem als Schema bezeichnet. (Compl. 1, p. 291). Vgl. die diesbezügliche Anm. 9, § 1.

  50. 11)

    Vgl. Poincaré, An. Sit. §§ 5, 6.

  51. 12)

    Poincaré unterscheidet zwischen „Homologien mit Division” und „Homologien ohne Division”, je nachdem es außerdem gestattet ist, beide Seiten einer Homologie durch einen allen Koeffizienten gemeinsamen ganzzahligen Faktor zu dividieren, oder nicht. Im Text soll nur „von Homologien ohne Division” Gebrauch gemacht werden.

  52. 13)

    Irgend zwei Punkte einer zusammenhängenden Mannigfaltigkeit sind offenbar stets einander homolog.

  53. 15)

    Die Einführung der Homologien geschieht vielfach unter vorzugsweiser Berücksichtigung dieser speziellen Homologien. Vgl. die Bemerkungen, die hiezu Heegaard in der bereits zitierten Dissert p. 64, 65 macht.

  54. 1)

    Es sind noch in verschiedener anderer Weise definierte Zusammenhangszahlen mit dem Namen „Bettische Zahlen” bezw. „Riemann-Bettische Zahlen” (in Picard-Simart, Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes t. I., chap. 2.) belegt worden (im Hinblick auf den Aufsatz von Betti, Sugli spazi di un numero qualunque di dimensioni, Ann. di mat. ser. 2., t. 4. und das Fragment 29 in Riemanns Ges. Werken, 2. Aufl., p. 479). Die einzige Art, solche Zusammenhangszahlen zu definieren, die von gewissen Einwänden, auf die wir in § 21 zu sprechen kommen, frei ist, verdankt man Poincaré (derselbe erläutert seine in An. Sit. p. 19 gegebene Definition noch ausführlicher in Compl. 1., § 1) und die nach seinem Vorgang definierten Zusammenhangszahlen sind die Bettischen Zahlen des Textes.

  55. 2)

    Von dem Fallek 1=k 2=...=k t =0 wird hiebei natürlich abgesehen.

  56. 4)

    Dissertation p. 64.

  57. 6)

    Eine andere Fassung dieser Definition findet man auf der letzten Seite des § 9.

  58. 7)

    Allerdings ist damit nur gezeigt, daßP m eine topologische Invariante der Schemata, nicht aber, daß es eine topologische Invariante der Mannigfaltigkeiten ist. Bezüglich dieses Unterschiedes vergleiche man § 2.

  59. 8)

    Compl. 1 und 2.

  60. 9)

    Siehe Compl. 1.

  61. 10)

    Falls man den in § 7 bei der Besprechung der Annahme II ausgesprochenen SatzB als gültig ansieht, kann man sagen, ein solches SystemG 1 (m) ,G 2 (m) , ...G s (m) habe die Eigenschaft, daß jedes aus Zellen irgend eines Schema vonV zusammensetzbare zweiseitige geschlossenem-dimensionale Gebilde zusammen mit denG i (m) einer Homologie genügt.

  62. 11)

    Vgl. Compl. 2, §§ 2, 3 (S. 281 ff.).

  63. 1)

    Jedenfalls ist nicht jedes in einer MannigfaltigkeitV gelegene zweiseitige geschlossenem-dimensionale Gebilde einer zweiseitigen geschlossenenm-dimensionalen Mannigfaltigkeit inV homolog, z. B. nicht das Gebilde 2F 2, inV ist. Die in der Anm. auf der zweiten Seite meiner oben zitierten Note in den Wien. Ber. (1906) berührte Frage ist also zu verneinen.

  64. 2)

    Compl. 1, § 6.

  65. 3)

    Es sind dies in etwas anderer Anordnung die Überlegungen Poincarés in Compl. 1, §§ 5, 6.

  66. 6)

    Wäre dieser Satza zutreffend, so würde aus ihm ohne weiteres der in § 2 besprochene hypothetische Satz über die Homöomorphie der Schemata homöomorpher Mannigfaltigkeiten folgen.

  67. 7)

    Hingegen behält SatzB für dieses Beispiel ersichtlich seine Richtigkeit.

  68. 1)

    Die MannigfaltigkeitenE 1 (−1) ,E 2 (−1) werden mit einem Sinn versehen angenommen, der mit dem fürS (l−1) festgelegten Sinne in Übereinstimmung sein soll.

  69. 2)

    Im Fallel=1 erfährt diese Formulierung eine leichte Modifikation.S (0) ist das Paar der beiden Endpunkte der Kantea r 1 ,E 1 (0) bedeutet den einen,E 2 (0) den anderen dieser Endpunkte und die Unterteilung wird einfach durch Markierung eines Punktesa s (0) aufa r 1 bewirkt.

  70. 4)

    Diese nur der Einfachheit zuliebe gemachte Annahme ist natürlich unwesentlich.

  71. 6)

    Compl. 1, § 8.

  72. 7)

    Diese Gleichung ist offenbar auch richtig fürm=0.

  73. 8)

    Bedienen wir uns der Vorstellung einer in bestimmter Weise gewählten, den Sinn vonV liefernden Indikatrix, so ergibt sich der Sinn der Zellea i −n−m aus dem vona i m (n>m>0) durch folgende Forderung, wobei wir uns der Bezeichnung „m-dimensionales, verallgemeinertes Tetraeder” für diem te in jener Reihe von Figuren bedienen, die mit der Strecke, dem Dreieck und dem Tetraeder (Fällem=1, 2, 3) beginnt: BedeutetM den Durchschnittspunkt vona i m unda i −n−m (es wird natürlich vorausgesetzt, daß nur ein solcher Durchschnittspunkt existiert), so läßt sich die IndikatrixJ vonV in eine solche Lage bringen, daß der Punkt 1 vonJ aufM fällt, daß das durch die Punkte 1, 2,...m+1 bestimmte zur Berandung vonJ gehörigom-dimensionale verallgemeinerte TetraederT m ganz in die Zellea i m zu liegen kommt, die sonst, keine Punkte mitJ gemein haben soll, daß analog das durch 1,m+2,m+3,...n+1 bestimmte (n−m)-dimensionale verallgemeinerte TetraederT n−m gauz in der Zellea i −n−m , die sonst mitJ keine Punkte gemein haben soll, liegt und daß dabeiT m , bezw.T n−m eine positiv genommene Indikatrix vona i m , bezw.a i −n−m werden, wenn ihre Eckpunkte in der angeschriebenen Reihenfolge genommen werden. Man denke sich ferner den Punkta i −0 mit positivem oder negativem Vorzeichen versehen (vgl. § 5, Anm. 2), je nachdem der Sinn vona i m mit dem vonV übereinstimmt oder nicht, und entsprechend aus den Vorzeichen der Eckena i 0 den Sinn der Zellena i −n bestimmt.

  74. 9)

    Bezüglich der Bezeichnungsweise vgl. § 2.

  75. 10)

    Im Faller 0>0 wirdP 1=2p+r1+r0 bezw.q+r 1+r0 gesetzt; vgl. die Festsetzungen auf der letzten Seite des § 14.

  76. 12)

    Vgl. Poincaré, An. Sit. § 18 und Compl. 1, § 3, pag. 301.

  77. 1)

    Dies hebt auch Heegaard, Diss. p. 64, hervor.

  78. 2)

    Wie in dem angeführten Satze des § 5, ist auch hier die Voraussetzung zu machen, daß dieu i m−1 , aus denen die Berandung deru i m zusammengesetzt ist, keine Innenpunkte gemeinsam haben.

  79. 2)

    Siehe Poincaré, Compl. 2. Beim Heranziehen des reziproken Schema und der Relation (16) gelangt man zu dem Satze (Poincaré, a. a. O.): Für eine zweiseitige geschlossenen-dimensionale Mannigfaltigkeit stimmen die Torsionszahlenm ter Ordnung mit denen (nm−1)ter Ordnung überein.

  80. 4)

    Siehe § 1 der oben zitierten Note in den Wien. Ber. (1906).

  81. 1)

    Wir beschränken uns auf Gruppen, die aus einer endlichen Anzahl erzeugender Operationen zusammensetzbar sind.

  82. 2)

    Die identische Gruppe kann man durch das Fehlen sowohl von erzeugenden Operationen als auch von den später besprochenen definierenden Relationen definiert denken.

  83. 3)

    Unter „isomorph” ist hier stets „holoedrisch isomorph” zu verstehen.

  84. 4)

    Im Falle endlicher Gruppen läßt sich diese Entscheidung selbstverständlich immer herbeiführen. Doch fehlt es an einem Kriterium, welches im Falle einer vorgelegten nach der besprochenen Erzeugungsweise definierten Gruppe jederzeit zu entscheiden gestattet, ob die Gruppe endlich sei oder nicht.

  85. 5)

    Der inverse AusdruckA i −1 vonA i ist dadurch definiert, daß identischA i A i −1 =1 sein muß.

  86. 6)

    Es ist natürlich nicht ausgeschlossen, daß die durch zwei Relationensysteme definierten Gruppen in mehr als einer Weise isomorph aufeinander bezogen werden können. Wenn wir sagen, die beiden Relationensysteme definieren dieselbe Gruppe, so nehmen wir dabei an, die Operationen der beiden Gruppen seien in einer bestimmten für die weitere Betrachtung festzuhaltenden Weise isomorph aufeinander bezogen und dadurch gewissermaßen identifiziert.

  87. 9)

    und zwar die Torsionszahlen erster Ordnung.

  88. 10)

    Siehe § 14.

  89. 11)

    Man beachte eine Bemerkung in An. sit § 13, p. 65.

  90. 13)

    Die (unendliche) Gruppe, die bloß die definierenden Relationent 2=1,u 2 tu −1 t −1=1 hat, würde für das betrachtete Beispiel ersichtlich dasselbe leisten.

  91. 14)

    Es ist das die Fundamentalgruppe jener von Poincaré angegebenen geschlossenen dreidimensionalen Mannigfaltigkeit, welche genau ebenso wie die sphärische dreidimensionale MannigfaltigkeitP 1=P 2=1 und keine Torsionszahlen hat, ohne mit dieser Mannigfaltigkeit homöomorph zu sein. (Compl. 5, pag. 109.)

  92. 15)

    Von Poincaré a. a. O. p. 110 dadurch bewiesen, daß die Hinzunahme der Relations −1 ts −1 t=1 auf die Ikosaedergruppe:s −1 ts −1 t=1,s 5=1,t 3=1 führt.

  93. 1)

    An. Sit. § 12, 13.

  94. 2)

    a. a. O. An. Sit. § 12, 13. pag. 60, 61.

  95. 3)

    Mit geringfügigen Abänderungen. Wir lassen z. B. die Beschränkung auf Schemata, die aus einer einzigenn-dimensionalen Zelle bestehen (untern die Dimensionszahl des Schema verstanden), fallen.

  96. 4)

    Wenn hiefür bisweilen kurzweg gesagt werden wird: inA stoßen μ Kanten zusammen, so ist zu beachten, daß es Kanten geben kann, die vonA nachA führen. Eine solche Kante trägt zur Zahl μ zwei Einheiten bei, so daß μ genau genommen die Zahl der Kantenendpunkte, nicht der Kanten ist, die inA zusammenstoßen.

  97. 5)

    Die durch die PunkteN A, i in eine Anzahl Strecken zerlegte LinieL A stellt nichts anderes dar, als die eindimensionale „Umgebungsmannigfaltigkeit” (siehe § 3, Anm. 6 und § 4) der EckeA.

  98. 7)

    Von Poincaré (An. Sit. § 13, p. 64) „contours fermés fondamentaux” genannt.

  99. 1)

    In der Darstellung Poincarés geht dies aus der Bedeutung der Fundamentalgruppe für die in der Mannigfaltigkeit ausgebreiteten unverzweigten Funktionen hervor.

  100. 2)

    Die Art der Einführung der AusdrückeT λ (ε) , bei denen jaM (r 1) undM (r 2) nicht die gleiche Rolle spielen, ist schon im Hinblicke auf diese Festsetzung erfolgt.

  101. 3)

    Man kann z. B.V′=U′ g′ , r1 Sσ setzen. Um aber für die beiden Fälle, daß einmal für Σ, das anderemal für Σ′ Grundpunkt und Hilfswege vorgegeben sind, die weitere Betrachtung der Relationenr undr′ nicht gesondert durchführen zu müssen, sollV′ nicht weiter spezialisiert werden.

  102. 1)

    Vgl. Poincaré, An. Sit. p. 65.

  103. 2)

    Compl. 5.

  104. 1)

    Diese Bezeichnung rührt von Poincaré her (Compl. 5, § 5, p. 90).

  105. 2)

    Vgl. meine Note in den Wr. Ber., Punkt 3.

  106. 3)

    Siehe § 2, Anm. 4. Der Ausdruck Randmannigfaltigkeit wird in diesem Abschnitt auf aus Randpunkten bestehende „Komplexe” (also keine Mannigfaltigkeiten im Sinne des Abschnittes I) ausgedehnt.

  107. 4)

    Führt das angewendete Verfahren schließlich aufV(L), woL aus einer einzigen Kantek mit zwei freien Endpunkten besteht, so gelangt man durch nochmalige Anwendung der beschriebenen Abbildung auf eine MannigfaltigkeitV (B), die ausV durch Weglassung eines einzigen PunktesB entsteht.

  108. 5)

    Sowohl bei diesem als bei dem oben ausgesprochenen Satze sind die Schemata der beiden Mannigfaltigkeiten im allgemeinen nicht homöomorph. Daraus ergibt sich, daß, wenn uneigentliche Randmannigfaltigkeiten auftreten, der Satz von der Homöomorphie der Schemata homöomorpher Mannigfaltigkeiten nicht mehr giltig ist (siehe § 2, Anm. 9). Für eigentliche Randmannigfaltigkeiten liegt die Sache deswegen anders, weil für diese festgesetzt wurde (§ 2, Anm. 4), daß ihre Punkte der berandeten Mannigfaltigkeit zuzuzählen sind.

  109. 6)

    In gleicher Weise werde für zwei Systeme geschlossener Linien und überhaupt für zwei eindimensionale Komplexe der Begriff „gleichartig verschlungen” definiert.

  110. 7)

    In meiner bereits zitierten Note habe ich diese Frage bejahend beantwortet, mich dabei aber auf den (wie die Ausführungen des Textes zeigen) irrtümlich als giltig angenommenen Satz gestützt, daß aus der Homöomorphie vonS 3 (K) undS 3 (L), unterK, L irgendwelche eindimensionale Komplexe verstanden, stets geschlossen werden könne,K sei mitL oder mit dem Spiegelbild vonL gleichartig verschlungen.

  111. 8)

    Das gleiche gilt, wie man sich leicht überzeugt, für zweidimensionale Mannigfaltigkeiten mit isolierten Randpunkten.

  112. 9)

    Vgl. Anm. 4 u. 5 des § 2. Obwohl also alle uneigentlichen Randmannigfaltigkeiten durch eigentliche ersetzt werden können, ist es trotzdem nützlich, die uneigentlich berandeten Mannigfaltigkeiten besonders in Betracht zu nehmen, da sie z. B. bei der in § 18 besprochenen Darstellungsform eine Rolle spielen.

  113. 10)

    In diesen Fragenkreis läßt sich auch die in § 2, Anm. 13 aufgeworfene Frage einordnen.

  114. 1)

    Auf die im Folgenden besprochenen Beziehungen zwischen den Transformationen einer Mannigfaltigkeit in sich und den Isomorphien der Fundamentalgruppe habe ich bereits in meiner oben zitierten Note hingewiesen.

  115. 2)

    Es wurde bereits in § 1 darauf hingewiesen, daß für den Begriff der Mannigfaltigkeiten und ihrer stetigen Abbildungen, auf dem die Analysis situs der Punktmannigfaltigkeiten beruht, die eingeführte Definition der Entfernung zweier Punkte maßgebend ist.

  116. 3)

    Die für die kontinuierlichen Mannigfaltigkeiten in der genannten Note gegebene Definition der Deformationen deckt sich offenbar für dieselben mit der im Text gegebenen Definition.

  117. 4)

    Zwei Wege nacheinander ausgeführt stellen offenbar wieder einen geschlossenen Weg dar. Eine Relationa i a k =a l zwischen den geschlossenen Wegen bedeutet dann nichts anderes, als das Bestehen der entsprechenden Relation zwischen den den Wegena i ,a k ,a l zugehörigen Substitutionen der Werte einer beliebigen inV unverzweigten Funktion (siehe § 12, Anm. 6).

  118. 5)

    Um die Art, in der dies geschehen kann, zu charakterisieren, mag hingewiesen werden einerseits auf die Untersuchungen von C. Jordan (Recherches sur les polyèdres, Crelles J., Bd. 66) über den Begriff des „aspect” eines Polyeders, und die Frage, ob verschiedene Aspekte eines und desselben Polyeders einander ähnlich sein können, anderseits darauf, wie in dem bereits genannten Enzyklopädieartikel Dehn-Heegaard (IIIAB3, Grundlagen 7) auf eine ganz auf den Begriff des Schema basierte Art, Deformationen eingeführt werden, die innerhalb einer MannigfaltigkeitV mit Figuren, die inV liegen, vollzogen werden.

  119. 6)

    Diese Bedingung ist jedoch nicht hinreichend. Man betrachte hiezu die in § 15 besprochene durch Fig. 3 dargestellte Mannigfaltigkeit und schneide aus derselben noch an irgend einer Stelle ein kleines von einer Torusfläche berandetes Raumstück aus. Die so entstandene MannigfaltigkeitV ist von zwei FlächenW 1 ,W 2 vom Geschlechtp=1 berandet. Ihre Fundamentalgruppe baut sich aus drei erzeugenden Operationens, t, u auf, zwischen denen die Relationsts=tst besteht. Es gibt zwei geschlossene Wege aufW 1, aus denen alle anderen sich zusammensetzen lassen, denen die Operationens undtst −1 st der Fundamentalgruppe entsprechen, und zwei ebensolche Wege aufW 2, denen die Operationen 1 undu entsprechen. Man sieht, daß es keine geschlossenen Rückkehrschnitte aufW 1 gibt, denen die identische Operation entspricht, und daß alsoW 1 undW 2 nicht durch eine Transformation vonV in sich ineinander transformiert werden können.

  120. 7)

    Man findet dieselbe übrigens schon bei Heegaard, Diss. p. 56.

  121. 8)

    Fürn=2 ist diese Abbildung allerdings, wie bekannt, stets möglich. Bezüglichn>2 vgl. die in § 2, Anm. 13, aufgeworfene Frage.

  122. 9)

    Vgl. in § 15 das durch Fig. 3 erläuterte Beispiel.

  123. 10)

    Diese Sätze erscheinen allerdings der Anschauung entnommen und man kann sich die Aufgabe stellen, sie allgemein im Gebiete der Punktmannigfaltigkeiten strenge nachzuweisen oder aber auch (vgl. Anm. 5) im Gebiete der kombinatorischen Analysis situs, wenn die Mannigfaltigkeiten durch Schemata, so wie dies im Abschnitt I auseinandergesetzt wurde, repräsentiert werden.

  124. 11)

    In den folgenden Beispielen werden nur die GruppenP, P * betrachtet, da nur diese Gruppen für uneigentlich berandete Mannigfaltigkeiten (siehe § 2, Anm. 4)—und die Beispiele beziehen sich auf solche Mannigfaltigkeiten—definiert sind.

  125. 12)

    Auch dies ist eine der Anschauung oder, wenn der Ausdruck gestattet ist, der topologischen Erfahrung entnommene Tatsache, für die mir ein strenger Beweis nicht bekannt ist.

  126. 1)

    Vgl. hierüber Dyck, Math. Anm. 32.

  127. 2)

    Wie dies aufzufassen ist, ergibt sich sofort aus dem an analoger Stelle in Abschnitt I über die Zuordnungen von Randelementen Gesagte.

  128. 3)

    Natürlich erhält man auch berandete Flächen durch den gleichen Herstellungsprozeß, wenn man nicht für aller Kreise Zuordnungen festlegt, und zwar ist jede berandete Fläche dieser Darstellung fähig.

  129. 4)

    Eine Darstellung dieser Verhältnisse gibt Dyck a. a. O., Math. Anm. 32. S. 480.

  130. 5)

    Die Gesamtheit der Punkte der Mannigfaltigkeit, deren jeder durch zwei Punkte der Torusfläche repräsentiert ist, bildet eine geschlossene einseitige Fläche mit der Invarianteq=2 (siehe § 8). Allgemein bilden die aus der Zuordnung dritter Art einer Fläche vom Geschlechtp auf sich selbst entstehenden Punkte eine in der dreidimensionalen Mannigfaltigkeit liegende einseitige geschlossene Fläche mit der Invarianteq=p+1, wie man aus der Betrachtung der ZahlN (siehe § 8), die für die Fläche vom Geschlechtp gleich dem doppelten der für die einseitige Fläche gebildeten ZahlN sein muß, entnimmt.

  131. 6)

    Man kann diese Darstellungsart natürlich verallgemeinern, indem man statt zweier 2m Blätter nimmt, und an jeder Randmannigfaltigkeit die Blätter in Paare miteinander zusammenhängender verteilt.

  132. 7)

    Die betrachteten Mannigfaltigkeiten sind identisch mit den durch die Riemannschen Räume von Eks. 2, 3 in Heegaards Diss. § 14 dargestellten.

  133. 1)

    Vgl. Appell, Math. Ann. 30, Sommerfeld, Proc. Lond. Math. Soc. 28 und die §§ 13, 14 der Dissertation von Heegaard.

  134. 2)

    die also uneigentliche Randmannigfaltigkeiten vorstellen, vgl. § 2, Anm. 4.

  135. 3)

    Daß man die gleiche Methode anwenden kann, um auf anderen Flächen als der Kugelfläche mehrblättrige ausgebreitete Flächen zu erhalten, ist bekannt.

  136. 4)

    Das im folgenden dargestellte Verfahren, die Konstruktion der KegelflächeF als Verzweigungsschnittfläche zu benützen, und die Bedingungen für das Zusammenfügen der Blätter aus den Linien vonO zu den scheinbaren Doppelpunkten des Systems der Liniena, b, ... zu bestimmen, ist mir durch Herrn Wirtinger bekannt geworden, der dasselbe entwickelt und bei den weiter unten zitierten Untersuchungen verwendet hat. Das gleiche Verfahren findet sich in der Beschränkung auf Verzweigungen erster Ordnung bereits bei Heegaard a. a. O. Diss. § 14 dargestellten.

  137. 5)

    Der Bau der Relationen (41) zeigt, daß die betrachteten Mannigfaltigkeiten Ψ keine Torsionszahlen haben. Es ergibt sich dies durch die gleichen Überlegungen, die in § 10, Anm. 1, angestellt wurden.

  138. 6)

    Natürlich kann man wieder statt auf der sphärischen, auf einer beliebigen geschlossenen Mannigfaltigkeit mehrblättrig ausgebreitete Mannigfaltigkeiten betrachten.

  139. 7)

    Erste Sitzung d. Math. Ges. in Wien vom 22. Jänner 1904 und Jahresvers. d. Deutsch. Math. Ver., Meran, Sept. 1905 (siehe Jahresber. 14, S. 517).

  140. 8)

    Der gleiche Riemannsche Raum wurde vorher schon von Heegaard (a. a. O., Diss. § 14 dargestellten. p. 84, Eks. 4) betrachtet und als einfach zusammenhängend erkannt.

  141. 9)

    Heegaard a. a. O., Diss. § 14 dargestellten. p. 84, Eks. 5.

  142. 1)

    Siehe die Einleitung.

  143. 2)

    Dieser Voraussetzung zufolge können die Elementee,e 1,e 2,...e m−1 sämtlich als Elemente des SchemaT angesehen werden.

  144. 1)

    Bei Verwendung dieses Zeichens wird stets die Voraussetzung λ zul teilerfremd und 0<λ<l gemacht. Sei hier (sowie bezüglich der Überlegungen d. § 22) an die in Heegaards Diss. betrachteten „Diagramme” erinnert. Das Diagramm (p. 57) eines Ringes mit der Anheftungskurve [mβ+nλ] liefert eine mit [m, n′] homöomorphe Mannigfaltigkeit (n′n, mod.m).

  145. 2)

    Es kann demnach höchstensl-wertige unverzweigt auf der Mannigfaltigkeit ausgebreitete Funktionen geben. Wenn man dementsprechend über der Mannigfaltigkeitl-blättrig eine Mannigfaltigkeit ausbreitet, so daß diel-wertigen Funktionen auf derselben eindeutig werden, so entsteht hiedurch eine der sphärischen homöomorphe Mannigfaltigkeit. Allgemein erhält man bei μ-facher Überdeckung von [l, λ] eine der Mannigfaltigkeit [l/t, r/t] homöomorphe Mannigfaltigkeit, unterr den Rest von μλ nachl, untert den größten gemeinsamen Teiler vonl undr verstanden. — Man bemerke, daß wir hier endliche von der identischen Gruppe verschiedene Fundamentalgruppen vor uns haben, während alle zweiseitigen zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten mit Ausnahme der einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten, deren Fundamentalgruppe sich auf die Identität reduziert, unendliche Fundamentalgruppen besitzen (siehe Poincaré, An. sit. § 14). Die Frage, ob es außer der sphärischen noch andere geschlossene dreidimensionale Mannigfaltigkeiten gibt, deren Fundamentalgruppe die identische Gruppe ist (Poincaré, Compl. 5, p. 110), ist unentschieden.

  146. 3)

    Der in der vorigen Anmerkung besprochenenl-blättrigen Überdeckung von [l, λ] entspricht einel 2-blättrige längs der geschlossenen Liniena undb verzweigte Überdeckung der sphärischen MannigfaltigkeitS 3, die man erhält, wenn man diel 2 Blätter {i, k} (i, k=0, 1, 2,...l−1) derart zusammenhägen läßt, daß man bei einem Umlauf umb bezw.a aus dem Blatt {i, k} in das Blatt {i, k+1} bezw. in das Blatt {i+1,k+λ} gelangt. Die derartl 2-blättrig überS 3 ausgebreitete Mannigfaltigkeit ist mitS 3 selbst homöomorph. — Man kann jedes Blatt {i, k} durch eine Zelle von der Form eines Tetraeders darstellen und so ein Schema vonS 3 erhalten, das vonl 2 Tetraedern, zwischen deren Oberflächendreiecken Zuordnungen bestehen, gebildet wird. Man gelangt so zu einer Einteilung der sphärischen dreidimensionalen Mannigfaltigkeit inl 2 tetraederartige Gebiete.

  147. 1)

    P m wird dabei jedesmal als die um 1 vermehrte Anzahl der Mannigfaltigkeiten eines solchen Systems definiert. Dabei ist stets auch der Fall, daß das System keine einzige Mannigfaltigkeit enthält, wo dannP m=1 zu setzen ist, in Betracht zu nehmen.

  148. 2)

    Bd. 1, S. 28 ff.

  149. 3)

    Dem Fallet=0, in dem das System überhaupt keine Mannigfaltigkeit enthält, entspricht es hier, daß jede MannigfaltigkeitW (m) homololog Null ist.

  150. 4)

    Man könnte natürlich, statt einer derart definierten ZahlP m auch alle jene Zahlen als topologische Invarianten einführen, welche, um 1 vermindert, mögliche Anzahlen derartiger SystemeW 1 (m) ,W 2 (m) ,...sind. Es entsteht die Frage, ob die so definierten Zahlen, aus der nach Poincaréscher Art definierten ZahlP m und den Poincaréschen Torsionszahlen, oder wenigstens aus der Fundamentalgruppe bestimmbar sind.

  151. 5)

    Siehe die Arbeit Bettis und das Fragment von Riemann, die in § 6, Anm. 1 zitiert wurden.

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Tietze, H. Über die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten. Monatsh. f. Mathematik und Physik 19, 1–118 (1908). https://doi.org/10.1007/BF01736688

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