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Über Kugeflunktionen, ihre binären Formen und Vielbeine

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Literatur

  1. 1)

    Vgl. die vorläufige Mitteilung: „Sur les fonctions sphériques et leurs multipèdes”. Comptes rendus, 28 janv. 1907.

  2. 1)

    Dieses Bilineal erweist sich später als identisch mit der vollen (d. i. der 2n ten) Überschiebung derjenigen binären Formen, welche durch Homogenmachen aus den Polynomen erhalten werden. Bez. der binären Invariantentheorie siehe Gordan, „Invarianten”, II. Bd.

  3. 2)

    Vgl. Gauß' Werke, Bd. V, p. 630, Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, Bd. I, p. 324.

  4. 3)

    Die Verbindungenx+iy,xiy der Koordinaten des Punktes ŗ wurden schon von Thomson und Tait (Handbuch der theoretischen Physik Bd. I, p. 163) in die Theorie der Kugelfunktionen eingeführt und von Maxwell (Lehrbuch der Elektrizität und des Magnestismus, Bd. I, p. 220) als „imaginäre Koordinaten” bezeichnet.

  5. 1)

    Über die verschiedenen Methoden von Laplace, Jacobi, Heine, F. Neumann zur Herleitung dieses Theorems siehe das Referat von Herrn Wangerin in der Enzyklopädie der math. Wissenschaften, Bd. II1, p. 695, Art. 13.

  6. 2)

    Vgl. E Waelsch: „Über mehrfache Vektoren und ihre Produkte sowie deren Anwendung in der Elastizitätstheorie”, Wien. Monatsh. Jahrg. XVII, p. 241.

  7. 1)

    Siehe „Note on spherical Harmonics”, Phil. mag. 5. ser., vol. 2, p. 291 (1876).

  8. 1)

    Diese Formel wurde zuerst für die zweite Überschiebung bewiesen von Herrn Gordan (siehe „Die Diskriminante der Form. 7. Grades”. Math. Ann., Bd. 31, p. 568) und hierauf allgemein von Herrn Berzolari (siehe „Sulle spinte formate con potenze di una forma quadratica” Palermo rend., t. XII, p. 258), worauf Herr Gordan (siehe „Auszug aus einem Schreiben an H. Berzolari”, ib. Palermo rend., t. XII, p. 326) einen anderen Beweis der nötigen Beziehung zwischen Binomialkoeffizienten gegeben hat.

  9. 2)

    Vgl. E. Waelsch: „Über die Entwicklung des Produktes zweier Kugelfunktionen nach Kugelfunktionen”, Wien. Ber., Bd. 118, Abt. IIa, p. 85 (1909).

  10. 3)

    Diese Entwicklung wurde zuerst von N. M. Ferrers (1874) und dann von J. C. Adams: „On the expression of the product of any two Legendres coefficients by means of a series of Legendres coefficients”, Proc. of the royal soc. Lond. vol. 27, p. 63 (1878), durch Induktion aufgestellt, im selben Jahre auch von F. Neumann: „Beiträge zur Theorie der Kugelfunktionen”, Leipzig, p. 88, mit Hilfe der Differentialgleichung, welcher das Produkt zweier Kugelfunktionen genügt, jedoch mit Koeffizienten in nicht so übersichtlicher Form.

  11. 4)

    Vgl. f. Neumann, l. c. „Beiträge zur Theorie der Kugelfunktionen”, Leipzig, p. 88, und den Bericht von Wangerin, l. c. Herrn Wangerin in der Enzyklopädie der math. Wissenschaften, Bd. II1, p. 695, Art. 13.

  12. 5)

    Für den speziellen Fall des Integrals des Produktes dreier Legendrescher Polynome siehe die oben angeführten Arbeiten von Ferrers, Adams und J. Todhunter, „Note on Legendres Coefficients” im selben Bde. d. Proc. p. 381.

  13. 1)

    Für die Theorie der binären Formen folgt aus diesem Satze nach dem Obigen: IstL eine binäre lineare Transformation, deren PotenzL 2n+2 zur Identität führt, so läßt sich jede Form 2n ter Ordnung linear ableiten aus denn ten Potenzen der Quadriken, die aus einer gegebenen Quadrika durch die TransformationenL 0 L 1, ...L 2n+1 hervorgehen. Nur darf die zweite Überschiebung der Formena, b nicht verschwinden, wob die Quadrik der Deckpunkte vonL ist.

  14. 1)

    Siehe Gordan l. c. siehe „Die Diskriminante der Form. 7. Grades”. Math. Ann., Bd. 31, p. 80.

  15. 2)

    Siehe Gordan l. c. siehe „Die Diskriminante der Form. 7. Grades”. Math. Ann., Bd. 31, p. 86.

  16. 3)

    Vgl. E. Waelsch, „Über Reihenentwicklung mehrfachbinärer Formen”, Wiener Ber. Bd. 113, Abt. IIa, p. 1209.

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Waelsch, E. Über Kugeflunktionen, ihre binären Formen und Vielbeine. Monatsh. f. Mathematik und Physik 20, 289–320 (1909). https://doi.org/10.1007/BF01727967

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