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Monatshefte für Mathematik und Physik

, Volume 45, Issue 1, pp 251–279 | Cite as

Über gewisse Funktionalbeziehungen

  • Artur Erdélyi
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Literatur

  1. 1).
    Über eine Methode zur Gewinnung von Funktionalbeziehungen zwischen konfluenten hypergeometrischen Funktionen. Monatshefte f. Math. u. Phys.45 (1936) 31–52.Google Scholar
  2. 1a).
    So wurde ein großer Teil der in 1) Über eine Methode zur Gewinnung von Funktionalbeziehungen zwischen konfluenten hypergeometrischen Funktionen. Monatshefte f. Math. u. Phys.45 (1936) 31–52, hergeleiteten Beziehungen mittels des über einen komplexen Weg erstreckten Integrals (2) jener Arbeit gewonnen.Google Scholar
  3. 1b).
    Im allgemeinen Falle (3) kannf μ, ν(s) als die Hankelsche Transforformierte einer Funktion aufgefaßt werden, die fürt<a und fürt>b verschwindet und im Intervallatb gleicht μ F(t) ist.Google Scholar
  4. 2).
    Vgl. G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge 1922 insbesondere § 16, 13. Dieses Werk wird im folgenden mit B. F. zitiert.Google Scholar
  5. 3).
    B. F. § 16, 11.Google Scholar
  6. 4).
    B. F. § 16, 2.Google Scholar
  7. 5).
    T. J. Bromwich, An Introduction to the Theory of Infinite Series 2d Edition London 1926. § 176 B.Google Scholar
  8. 6).
    R. Weyrich, Die Zylinderfunktionen und ihre Anwendungen Berlin 1937. Seite 90 Gleichung (1). Dieses Werk wird im folgenden mit W. zitiert.Google Scholar
  9. 7).
    Vgl. auch W. Seite 91.Google Scholar
  10. 8).
    B. F. § 5, 2.Google Scholar
  11. 9).
    B. F. § 5, 23 Gleichung (1).Google Scholar
  12. 10).
    B. F. § 5, 21.Google Scholar
  13. 11).
    B. F. § 5, 22 Gleichung (5).Google Scholar
  14. 12).
    B. F. § 12, 13.Google Scholar
  15. 13).
    B. F. § 13, 2 und 13, 21.Google Scholar
  16. 14).
    B. F. § 12, 11.Google Scholar
  17. 15).
    Das ist um so weniger überraschend, als das Ausgangsintegral (5,1) selbst ein Faltungsintegral ist.Google Scholar
  18. 16).
    B. F. § 13, 24.Google Scholar
  19. 17).
    B. F. Seite 394.Google Scholar
  20. 18).
    Vgl. F. Tricomi, Sulla trasformazione e il teorema di reciprocitá di Hankel. Rendiconti Lincei22 (1935) 564–571 insbesondere § 3.zbMATHGoogle Scholar
  21. 19).
    K. F. Niessen, A Contribution to the Symbolic Calculus. Phil. Mag. (7)20 (1935) 977–997 Gleichung (I).CrossRefzbMATHGoogle Scholar
  22. 20).
  23. 20a).
    Vgl. z. B. G. Doetsch, Der Faltungssatz in der Theorie der Laplace-Transformation. Annali della R. Scuola Norm. Sup. di Pisa (2)4 (1925) 71–85.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  24. 21).
    Selbstverständlich kann grundsätzlichjede Integraldarstellung der Zylinderfunktionen auf diese Weise auf die Funktionenf μ, ν (s) übertragen werden. Vgl. auch §8 der in Anm. 1) Über eine Methode zur Gewinnung von Funktionalbeziehungen zwischen konfluenten hypergeometrischen Funktionen. Monatshefte f. Math. u. Phys.45 (1936) 31–52. zitierten Arbeit, in der die Sonine-Schläflische Integraldarstellung der Besselschen Funktionen auf die Whittakerschen Funktionen übertragen wird.Google Scholar
  25. 22).
    W. Seite 71 Gleichung (14).Google Scholar
  26. 23).
    W. Seite 29 Gleichung (2).Google Scholar
  27. 24).
    B. F. § 13,6 Gleichung (6).Google Scholar
  28. 25).
    B. F. § 13,5 Gleichung (1).Google Scholar
  29. 26).
    Fürn=0 vgl. B. F. § 5,40 Gleichung (7).Google Scholar
  30. 27).
    Vgl. z. B. C. S. Meijer, Einige Integraldarstellungen für Whittakersche und Besselsche Funktionen. Proc. Kon. Ak. van Wetensch. te Amsterdam37 (1934) 805–812, Gleichung (1).zbMATHGoogle Scholar
  31. 28).
    Diese Reihe bildet gewissermaßen ein Analogon zu Gleichung (5,8) der in Anm. 1) Über eine Methode zur Gewinnung von Funktionalbeziehungen zwischen konfluenten hypergeometrischen Funktionen. Monatshefte f. Math. u. Phys.45 (1936) 31–52. zitierten Arbeit.Google Scholar
  32. 29).
    E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern Analysis 4th Edition, Cambridge 1927 insbesondere § 16,1. Dieses Werk wird im folgenden mit M. A. zitiert.Google Scholar
  33. 30).
    M. A. § 16,1.Google Scholar
  34. 31).
    Vgl. etwa A. Erdélyi, Über einige bestimmte Integrale, in denen die WhittakerschenM k, m Funktionen auftreten. Math. Zeitschr.40 (1936) 693–702. An dieser Stelle (S. 699, Anm. 13) findet sich die Bemerkung, daß der Zusammenhang zwischen denM k, m-Funktionen und den Laguerreschen Polynomen an keiner Stelle der mir bekannten Literatur erwähnt wird. In der Zwischenzeit habe ich feststellen können, daß eine mit (8, 8) gleichbedeutende Formel z. B. angeführt ist in einer Arbeit von P. Humbert, The Confluent Hypergeometric Functions of two Variables. Proc. Roy. Soc. Edinburgh41 (1920/21) 73.CrossRefzbMATHGoogle Scholar
  35. 32).
    M. A. § 17,212.Google Scholar
  36. 33).
    B. F. § 13,21 Gleichung (3).Google Scholar
  37. 34).
    M. A. § 15,5 und § 15,6. Vgl. auch E. W. Hobson, The Theory of Spherical and Elliptical Harmonics, Cambridge 1931, Seite 227 ff. Dieses letztere Werk wird im folgenden mit H. zitiert.Google Scholar
  38. 35).
    Diese Gleichungen gelten übrigens auch bei komplexen Werten dieser Parameter, wenn die erwähnten Beschränkungen entsprechend abgeändert werden.Google Scholar
  39. 36).
    Vgl. H. Kapitel VI.Google Scholar
  40. 37).
    H. Seite 227 Gleichung (55), in der nochn=0 zu setzen ist.Google Scholar
  41. 38).
    H. § 166 Gleichung (109).Google Scholar
  42. 39).
    H. Seite 245 ff.Google Scholar
  43. 40).
    T. M. Mac Robert, Derivation of Legendre Function Formulae from Bessel Function Formulae. Phil. Mag. (7)21 (1936) 697–703.CrossRefzbMATHGoogle Scholar
  44. 41).
    l. c. Vgl. G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge 1922 insbesondere § 16, 13. Dieses Werk wird im folgenden mit B. F. zitiert. Gleichung (2).Google Scholar

Copyright information

© Akademische Verlagsgesellschaft M. B. H. 1936

Authors and Affiliations

  • Artur Erdélyi
    • 1
  1. 1.BrünnCzech Republic

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