Monatshefte für Mathematik und Physik

, Volume 38, Issue 1, pp 173–198 | Cite as

Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I

  • Kurt Gödel
Article

Literatur

  1. 2).
    A. Whitehead und B. Russell, Principia Mathematica, 2. Aufl., Cambridge 1925. Zu den Axiomen des Systems PM rechnen wir insbesondere auch: Das Unendlichkeitsaxiom (in der Form: es gibt genau abzählbar viele Individuen), das Reduzibilitäts- und das Auswahlaxiom (für alle Typen).Google Scholar
  2. 3).
    Vgl. A. Fraenkel, Zehn Vorlesungen über die Grundlegung der Mengenlehre, Wissensch. u. Hyp. Bd. XXXI. J. v. Neumann, Die Axiomatisierung der Mengenlehre. Math. Zeitschr. 27, 1928. Journ. f. reine u. angew. Math. 154 (1925), 160 (1929). Wir bemerken, daß man zu den in der angeführten Literatur gegebenen mengentheoretischen Axiomen noch die Axiome und Schlußregeln des Logikkalküls hinzufügen muß, um die Formalisierung zu vollenden. — Die nachfolgenden Überlegungen gelten auch für die in den letzten Jahren von D. Hilbert und seinen Mitarbeitern aufgestellten formalen Systeme (soweit diese bisher vorliegen). Vgl. D. Hilbert, Math. Ann. 88, Abh. aus d. math. Sem. der Univ. Hamburg I (1922), VI (1928). P. Bernays, Math. Ann. 90. J.v.Neumann, Math. Zeitschr. 26 (1927). W. Ackermann, Math. Ann. 93.Google Scholar
  3. 5).
    Dabei werden in PM nur solche Axiome als verschieden gezählt, die aus einander nicht bloß durch Typenwechsel entstehen.Google Scholar
  4. 6).
    Wir verstehen hier und im folgenden unter “Formel aus PM” immer eine ohne Abkürzungen (d. h. ohne verwendung von Definitionen) geschriebene Formel. Definitionen dienen ja nur der kürzeren Schreibweise und sind daher prinzipiell überflüssig.Google Scholar
  5. 7).
    D. h. wir bilden die Grundzeichen in eineindeutiger Weise auf natürliche Zahlen ab. (Vgl. die Durchführung auf S. 179.)Google Scholar
  6. 8).
    D. h. eine Belegung eines Abschnittes der Zahlenreihe mit natürlichen Zahlen. (Zahlen können ja nicht in räumliche Anordnung gebracht werden.)Google Scholar
  7. 9).
    m. a. W.: Das oben beschriebene Verfahren liefert ein isomorphes Bild des Systems PM im Bereich der Arithmetik und man kann alle metamathematischen Überlegungen ebenso gut an diesem isomorphen Bild vornehmen. Dies geschieht in der folgenden Beweisskizze, d. h. unter “Formel”, “Satz”, “Variable” etc. sind immer die entsprechenden Gegenstände des isomorphen Bildes zu verstehen.Google Scholar
  8. 10).
    Es wäre sehr leicht (nur etwas umständlich), diese Formel tatsächlich hinzuschreiben.Google Scholar
  9. 11).
    Etwa nach steigender Gliedersumme und bei gleicher Summe lexikographisch.Google Scholar
  10. 11a).
    Durch Überstreichen wird die Negation bezeichnet.Google Scholar
  11. 12).
    Es macht wieder nicht die geringsten Schwierigkeiten, die FormelS tatsächlich hinzuschreiben.Google Scholar
  12. 13).
    Man beachte, daß “[R (q); q]” (oder was dasselbe bedeutet “[S; q]”) bloß eine metamathematische Beschreibung des unentscheidbaren Satzes ist. Doch kann man, sobald man die FormelS ermittelt hat, natürlich auch die Zahlq bestimmen und damit den unentscheidbaren Satz selbst effektiv hinschreiben.Google Scholar
  13. 14).
    Es läßt sich überhaupt jede epistemologische Antinomie zu einem derartigen Unentscheidbarkeitsbeweis verwenden.Google Scholar
  14. 15).
    Ein solcher Satz hat entgegen dem Anschein nichts Zirkelhaftes an sich, denn er behauptet zunächst die Unbeweisbarkeit einer ganz bestimmten Formel (nämlich derq-ten in der lexikographischen Anordnung bei einer bestimmten Einsetzung), und erst nachträglich (gewissermaßen zufällig) stellt sich heraus, daß diese Formel gerade die ist, in der er eelbst ausgedrückt wurde.Google Scholar
  15. 16).
    Die Hinzufügung der Peanoschen Axime ebenso wie alle anderen am System PM angebrachten Abänderungen dienen lediglich zur Vereinfachung des Beweises und sind prinzipiell entbehrlich.Google Scholar
  16. 17).
    Es wird vorausgesetzt, daß für jeden Variablentypus abzählbar viele Zeichen zur Verfügung stehen.Google Scholar
  17. 18).
    Auch inhomogene Relationen können auf diese Weise definiert werden, z. B. eine Relation zwischen Individuen und Klassen als eine Klasse aus Elementen der Form: ((x 2), ((x 1),x 2)). Alle in den PM über Relationen beweisbaren Sätze sind, wie eine einfache Überlegung lehrt, auch bei dieser Behandlungsweise beweisbar.Google Scholar
  18. 18a).
    xII(a) ist also auch dann eine Formel, wennx ina nicht oder nicht frei vorkommt. In diesem Fall bedeutetxII(a) natürlich dasselbe wiea.Google Scholar
  19. 19).
    Bez. dieser Definition (und analoger später vorkommender) vgl. J. Łukasiewicz und A. Tarski, Untersuchungen über den Aussagenkalkül, Comptes Rendus des séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie XXIII, 1930, Cl. III.Google Scholar
  20. 21).
    x 1=y 1 ist, wie in PM I, * 13 durchx 2II (x 2(x 1) ⊅x 2(y 1)) definiert zu denken (ebenso für die höheren Typen).Google Scholar
  21. 22).
    Um aus den angeschriebenen Schemata die Axiome zu erhalten, muß man also (in II, III, IV nach Ausführung der erlaubten Einsetzungen) noch 1. die Abkürzungen eliminieren, 2. die unterdrückten Klammern hinzufügen. Man beachte, daß die so entstehenden Ausdrücke “Formeln” in obigem Sinn sein müssen. (Vgl. auch die exakten Definitionen der metamathem. Begriffe S. 182 fg.)Google Scholar
  22. 23).
    e ist also entweder eine Variable oder O oder ein Zeichen der Formf...f u, wou entweder O oder eine Variable 1. Typs ist. Bez. des Begriffs “frei (gebunden) an einer Stelle vona” vgl. die in Fußnote24) zitierte Arbeit I A 5.Google Scholar
  23. 24).
    Die Einsetzungsregel wird dadurch überflüssig, daß wir alle möglichen Einsetzungen bereits in den Axiomen selbst vorgenommen haben (analog bei j. v. Neumann, Zur Hilbertschen Beweistheorie, Math. Zeitschr. 26, 1927).Google Scholar
  24. 25).
    D. h. ihr Definitionsbereich ist die Klasse der nicht negativen ganzen Zahlen (bzw. dern-tupel von solchen) und ihre Werte sind nicht negative ganze Zhalen.Google Scholar
  25. 26).
    Kleine lateinische Buchstaben (ev. mit Indizes) sind im folgenden immer Variable für nicht negative ganze Zahlen (falls nicht ausdrücklich das Gegeuteil bemerkt ist).Google Scholar
  26. 28).
    Klassen rechner wir mit zu den Relationen (einstellige Relationen). Rekursive RelationenR haben natürlich die Eigenschaft, daß man für jedes spezielle Zahlen-n-tupel entscheiden kann, obR (x 1...x n) gilt oder nicht.Google Scholar
  27. 29).
    Für alle inhaltlichen (insbes. auch die metamathematischen) Überlegungen wird die Hilbertsche Symbolik verwendet. Vgl. Hilbert-Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik, Berlin 1928.Google Scholar
  28. 31).
    Wir setzen als bekannt voraus, daß die Funktionenx+y (Addition),x, y (Multiplikation) rekursiv sind.Google Scholar
  29. 32).
    Andere Werte als 0 und 1 kanna, wie aus der Definition für α ersichtlich ist, nicht annehmen.Google Scholar
  30. 33).
    Das Zeichen ≠ wird im Sinne von “Definitionsgleichheit” verwendet, vertritt also bei Definitionen entweder=oder } (im übrigen ist die Symbolik die Hilbertsche).Google Scholar
  31. 34).
    Überall, wo in den folgenden Definitionen eines der Zeichen(x), (Ex), εx auftritt, ist es von einer Abschätzung fürx gefolgt. Diese Abschätzung dient lediglich dazu, um die rekursive Natur des definierten Begriffs (vgl. Satz IV) zu sichern. Dagegen würde sich der Umfang der definierten Begriffe durch Weglassung dieser Abschätzung meistens nicht ändern.Google Scholar
  32. 34a).
    Für 0<nz, wennz die Anzahl der verschiedenen inx aufgehenden Primzahlen ist. Man beachte, daß fürn=z+1nPrx=0 ist!Google Scholar
  33. 34b).
    m, nx steht für:mx&nx (ebenso für mehr als 2 Variable).Google Scholar
  34. 38).
    DieVariablen u 1...u n können willkürlich vorgegeben werden. Es gibt z. B. immer einr mit denfrein Variablen 17, 19, 23... usw., für welches (3) und (4) gilt.Google Scholar
  35. 39).
    Satz V beruht natürlich darauf, daß bei einer rekursiven RelationR für jedesn-tupel von Zahlen aus den Axiomen des SystemsP entscheidbar ist, ob die RelationR besteht oder nicht.Google Scholar
  36. 40).
    Daraus folgt sofort seine Geltung für jede rekursive Relation, da eine solche gleichbedeutend ist mit 0=ϕ (x 1...x n), wo ϕ rekursiv ist.Google Scholar
  37. 41).
    Bei der genauen Durchführung dieses Beweises wird natürlichr nicht auf dem Umweg über die inhaltliche Deutung, sondern durch seine rein formale Beschaffenheit definiert.Google Scholar
  38. 42).
    Welches also, inhaltlich gedeutet, das Bestehen dieser Relation ausdrückt.Google Scholar
  39. 43).
    r entsteht ja aus dem rekursivenRelationszeichen q durch Ersetzen einerVariablen durch eine bestimmte Zahl (p).Google Scholar
  40. 44).
    Die Operationen Gen,Sb sind natürlich immer vertauschbar, falls sie sich auf verschiedeneVariable beziehen.Google Scholar
  41. 45).
    x istz-beweisbar, soll bedeuten:x ε Flg (κ), was nach (7) dasselbe besagt wie: Bewκ (x).Google Scholar
  42. 45a).
    Denn alle im Beweise vorkommenden Existentialbehauptungen beruhen auf Satz V, der, wie leicht zu sehen, intuitionistisch einwandfrei ist.Google Scholar
  43. 46).
    Die Existenz widerspruchsfreier und nicht ω-widerspruchsfreier κ ist damit natürlich nur unter der Voraussetzung bewiesen, daß es überhaupt widerspruchsfreie κ gibt (d. h. daßP widerspruchsfrei ist).Google Scholar
  44. 47).
    Der Beweis von Voraussetzung 1. gestaltet sich hier sogar einfacher als im Falle des SystemsP, da es nur eine Art von Grundvariablen gibt (bzw. zwei bei J. v. Neumann).Google Scholar
  45. 48).
    Vgl. Problem III in D. Hilberts Vortrag: Probleme der Grundlegung der Mathematik. Math. Ann. 102.Google Scholar
  46. 48a).
    Der wahre Grund für die Unvollständigkeit, welche allen formalen. Systemen der Mathematik anhaftet, liegt, wie im II. Teil dieser Abhandlung gezeigt werden wird, darin, daß die Bildung immer höherer Typen sich ins Transfinite fortsetzen läßt. (Vgl. D. Hilbert, Über das Unendliche, Math. Ann. 95, S. 184), während in jedem formalen System höchstens abzählbar viele vorhanden sind. Man kann nämlich zeigen, daß die hier aufgestellten unentscheidbaren Sätze durch Adjunktion passender höherer Typen (z. B. des Typus ω zum SystemP) immer entscheidbar werden. Analoges gilt auch für das Axiomensystem der Mengenlehre.Google Scholar
  47. 49).
    Die Null wird hier und im folgenden immer mit zu den natürlichen Zahlen gerechnet.Google Scholar
  48. 50).
    Das Definiens eines solchen Begriffes muß sich also allein mittels der angeführten Zeichen, Variablen für natürlichen Zahlenx, y,... und den Zeichen 0, 1 aufbauen (Funktions- und Mengenvariable dürfen nicht vorkommen). (In den Präfixen darf stattx natürlich auch jede andere Zahlvariable stehen.)Google Scholar
  49. 52).
    f bedeutet hier eine Variable, deren Wertbereich die Folgen natürl. Zahlen sind. Mitf k wird dask+1-te Glied einer Folgef bezeichnet (mitf o das erste).Google Scholar
  50. 53).
    Das sind diejenigen ω-widerspruchsfreien Systeme, welche ausP durch Hinzufügung einer rekursiv definierbaren Klasse von Axiomen entstehen.Google Scholar
  51. 54).
    Vgl. Hilbert-Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik. Im SystemP sind unter Formeln des engeren Funktionenkalküls diejenigen zu verstehen, welche aus den Formeln des engeren Funktionenkalküls der PM durch die auf S. 176 angedeutete Ersetzung der Relationen durch Klassen höheren Typs entstehen.Google Scholar
  52. 55).
    In meiner Arbeit: Die Vollständigkeit der Axiome des logischen funktionenkalküls, Monatsh. f. Math. u. Phys. XXXVII, 2, habe ich gezeigt, daß jede Formel des engeren Funktionenkalküls entweder als allgemeingültig nachweisbar ist oder ein Gegenbeispiel existiert; die Existenz dieses Gegenbeispiels ist aber nach Satz IX nicht immer nachweisbar (in den angeführten formalen Systemen).Google Scholar
  53. 56).
    D. Hilbert und W. Ackermann rechnen in dem eben zitierten Buch das Zeichen=nicht zum engeren Funktionenkalkül. Es gibt aber zu jeder Formel, in der das Zeichen=vorkommt, eine solche ohne dieses Zeichen, die mit der ursprünglichen gleichzeitig erfüllbar ist (vgl. die in Fußnote55) zitierte Arbeit).Google Scholar
  54. 57).
    Und zwar soll der Definitionsbereich immer der ganze Individuenbereich sein.Google Scholar
  55. 58).
    Variable dritter Art dürfen dabei an allen Leerstellen für Individuenvariable stehen, z. B.:y=φ(x), F(x, φ(y)), G[ψ(x, φ(y)), x] usw.Google Scholar
  56. 59.
    D. h. die Konjunktion bildet.Google Scholar
  57. 61).
    Aus Satz X folgt z.B., daß das Fermatsche und das Goldbachsche Problem lösbar wären, wenn man das Entscheidungsproblem des e.F. gelöst hätte.Google Scholar
  58. 62).
    Satz IX gilt natürlich auch für das Axiomensystem der Mengenlehre und dessen Erweiterungen durch rekursiv definierbare ω-widerspruchsfreie Klassen von Axiomen, da es ja auch in diesen Systemen unentscheidbare Sätze der Form(x)F(x) (F rekursiv) gibt.Google Scholar
  59. 63).
    χ ist widerspruchsfrei (abgekürzt als Wid (χ)) wird folgendermaßen definiert: Wid(χ)≡(Ex) [Form (x)&Bewκ(x)].Google Scholar
  60. 64).
    Dies folgt, wenn man für χ die leere Klasse vonFormeln einsetzt.Google Scholar
  61. 65).
    r hängt natürlich (ebenso wiep) von κ ab.Google Scholar
  62. 66).
    Von der Definition für “rekursiv” auf Seite 179 bis zum Beweis von Satz VI inkl.Google Scholar
  63. 67).
    Daß aus (23) auf die Richtigkeit vonw Imp (17 Genr) geschlossen werden kann, beruht einfach darauf, daß der unentscheidbare Satz 17 Genr, wie gleich zu Anfang bemerkt, seine eigene Unbeweisbarkeit behauptet.Google Scholar
  64. 68).
    Vgl. J. v. Neumann, Zur Hilbertschen Beweistheorie, Math. Zeitschr. 26, 1927.Google Scholar

Copyright information

© Akademische Verlagsgesellschaft M. B. H. 1931

Authors and Affiliations

  • Kurt Gödel
    • 1
  1. 1.Wien

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