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Über konvexe Gebilde

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Literatur

  1. 1

    Minkowski, Ges. Abh. II, S. 163. Ein Punkt mit einer einzigen Stützobene heißt dort ein Flächenpunkt.

  2. 2

    Man bestätigt mit Hilfe der bei Kommerell, Allg. Theorie d. Raumkurven und Flächen I (1903), S. 99, angegebenen Formel, daß die Fläche (1) überall (außer inU) positiv gekrümmt ist.

  3. 3

    Diese ist hiedurch eindeutig definiert, auch wenn zuP mehrere Stützebenen gehören, was eintritt, wennP ein Kantenpunkt undt seine Achse ist.

  4. 4

    Die Definitionen sind so gewählt, daß vordere und hintere Neigung, falls zuP nur eine Stützebene gehört, gleich groß werden.

  5. 6

    Dies trifft (unter den Prismatoiden) bei den Pyramidenstumpfen und bei den Prismen zu, ferner wenn die Neigung ν selbst längs eines Schnittesz=konst. unveränderlich ist.

  6. 7

    Dieser Satz ist von der Orientierung des Prismatoids unabhängig; denn stürzt man dasselbe um, so daß sich Grundfläche und Deckfläche vertauschen, so vertauschen sich auchN und π−N usw. Daß beide FälleN 2N 1 vorkommen, ist leicht am Beispiel der Dachkörper mit rechteckiger Grundfläche einzusehen. Aber man kann Klassen von Prismatoiden aussondern, wo stetsN 2>N 1 ist, z. B. wenn Grundfläche und Deckfläche von zwein-Ecken begrenzt werden und die senkrechte ProjektionP′ des einen auf die Ebene des anderenP so liegt, daß je zwei Nachbarseiten vonP′ (in ihrem Innern) durch dieselbe Seite vonP (und umgekehrt) geschnitten werden, so daß die Ecken jedes Polygons außerhalb des anderen liegen.

  7. 8

    Vgl. den II. Teil, Nr. 8,b). Die dortige Gleichung (50) soll richtig lauten:r=p+p″.

  8. 11

    Sollten mehrere solche Ebenen vorhanden sein, so sei sie als die Mittelebene der zugehörigen Schichte definiert.

  9. 12

    Sollten mehrere solche Ebenen vorhanden sein, so sei sie als die Mittelebene der Schichte zwischen den äußersten definiert.

  10. 13

    Sollten mehrere solche Ebenen vorhanden sein, so sei dieN-Ebene als die Mittelebene der “N-Schichte” zwischen den äußersten Ebenen mit der mittleren Neigung π/2 definiert. DieN-Ebene kann auch ganz fehlen.

  11. 14

    Man überzeugt sich davon etwa am Beispiel eines regelmäßigen Tetraeders durch eine zu Nr. 5,a) des II. Teiles analoge Überlegung.

  12. 15

    Vgl. etwa W. Blaschke, Kreis und Kugel, Leipzig 1916, S. 86.

  13. 18

    Natürlich kann sich dieser Satz auch so erfüllen, daß zwei von den drei Durchmessern (oder alle drei) zusammenfallen.

  14. 19

    Allgemeiner ist die Zahl der gemeinsamen Paare stets ungerade, wenn keine Berührung stattfindet.

  15. 20

    Staudt, Geom. d. Lage, § 1, Art. 16.

  16. 21

    Die Ebenen der beidenD-Tripel brauchen nicht parallel zu sein.

  17. 23

    Auch beim Beweis des Satzes 26 hätte schon dieser einfache Schluß genügt aber die dortige überlegung sollte ja auch zum Satz 27 führen.

  18. 25

    Die Begründung des Satzes 30 in Nr. 9 des II. Teiles bedarf für den Fall, daß der Rand des Bereiches Ecken hat, noch einer Ergänzung: Von einer Ecke geht nämlich ein ganzes Büschel von Durchlinien aus, deren Tangentent jedoch durch die beiden Halbtangenten der Ecke bestimmt sind, als vierte harmonische Strahlen zu den Stützliniens der Büschel paralleler Sehnen. Also drehen sichs undt in entgegengesetztem Sinne, was zur Begründung des Satzes 30 ausreicht, der so zu fassen ist: Zwei Durchlinien haben mindestens einen inneren Punkt gemein.

  19. 28

    Nach einer Bemerkung von Emch, Am. J. of Math. 35 (1913), die dort anders ausgenützt wird.

  20. 29

    Wenn die Richtungen dagegen demselben Büschel angehören, kann es vorkommen, daß die drei Durchflächen nur die beiden Endpunkte der Schnittlinien je zweier gemein haben.

  21. 31

    Es läßt sich auch zeigen (wie hier nicht näher ausgeführt werden soll), daß es nur einen einzigen solchen Mantel gibt, indem sich der in Nr.10,b) gegebene Beweis analog auf diesen Fall übertragen läßt.

  22. 32

    Dieser Kreis teilt die Einheitskugel in zwei Stücke und es genügt, eins derselben zur sphärischen Abbildung heranzuziehen.

  23. 33

    Vgl. Sitzungsb. Ak. Wien 127, IIa (1918); zum Schlusse der dortigen Arbeit sei die Bemerkung nachgetragen, daß die viertelnde Ebene eines wind-schiefen Vierseits mit einer Fläche des zugehörigen Tetraeders zusammenfallen kann.

  24. 34

    So möge kurz die durch den Schwerpunkt einer geschlossenen Raumkurve gehende Ebene heißen, die nach Möbius (Statik, § 56=Ges. W. 3, S. 79) ein Maximum der Projektionsfläche ergibt.

  25. 35

    Sie wird analog definiert, wie die relative Breite desF-L-Streifens im II. Teil, Nr. 11,f, ɛ).

  26. 36

    Bei Annäherung an eine Stützebene kannv auch über alle Grenzen wachsen; wir wollen jedoch diesen Fall ausschließen, d. h.V endlich voraussetzen.

  27. 37

    Die Hauptsehnen heißen häufig Durchmesser schlechtweg, was aber sonst üblichen Bezeichungen widerspricht (konjugierte Durchmesser eines Ellipsoids).

  28. 38

    Vgl. z. B. Blaschke, Kreis und Kugel, S. 120.

  29. 39

    Die Fassung “Die Stützebenen in den Endpunkten einer Nebensehne stehen auf dieser senkrecht” wäre unrichtig, weil diese Endpunkte Ecken sein oder Kanten angehören können.

  30. 40

    Für beliebige konvexe Körper müßte man analoge Fallunterscheidungen einführen, wie im II. Teil, Nr.5,e). Es bleibt allerdings auch bei Eikörpern ein singulärer Fall unerledigt (vgl. die folgende Anm.).

  31. 41

    Daß er etwa beiA nicht inZ eindringt, kann nur eintreten, wenn ert a als (mindestens einseitige) Tangente inA hat. Daß nun ein wahrer Umriß einer Eifläche eine Erzeugende des projizierenden Umzylinders, auf dem er liegt, berührt, ist ein ganz besonderes Vorkommuis, das aber möglich ist. Tritt es nur bei einem der beiden PunkteA oderB ein, so wird der Beweis des Textes nicht wesentlich gestört, indem die Länge der StreckeA 0 B 0 auch dann noch in der Nachbarschaft vonA B kleiner alsA B sein muß. Unerledigt bleibt also nur ein Teil der Fälle, wo in beiden Punkten der singuläre Fall eintritt. Es scheint, daß man hier mit den einfachen Hilfsmitteln des Textes nicht mehr auskommt, sondern Stetigkeitseigenschaften der sphärischen Abbildung der Normalen der Elfläche heranziehen muß.

  32. 42

    S. II. Teil, Nr. 11,b). Die Zahl der Dreiecke kann unendlich werden, wenn es sich um eine konvexe Linie mit geraden Stücken handelt.

  33. 43

    S. Blaschke, Kreis und Kugel, S. 79.

  34. 44

    Aber es wäre derzeit schwierig, sie zu beantworten. Ich will deshalb von der Formulierung weiterer Fragen absehen, damit der freundliche Leser sich nicht veranlaßt fühlt, an das Sprichwort vom Narren und den zehn Weisen zu denken.

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Zindler, K. Über konvexe Gebilde. Monatsh. f. Mathematik und Physik 32, 107–138 (1922). https://doi.org/10.1007/BF01696878

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