Monatshefte für Mathematik und Physik

, Volume 47, Issue 1, pp 247–284 | Cite as

Über die algebraischen Eigenschaften der Integrale von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

  • Wolfgang Gröbner
Article
First Online:
Received:
This is a preview of subscription content, log in to check access.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. 3).
    Macaulay, The algebraic theory of modular systems, Cambridge Tracts in Mathematics, Bd. 19, Cambridge 1916, und Modern algebra and polynomial ideals, Proc. Cambr. Phil. Soc. XXX,1 (1934). Siehe auch Krull, Idealtheorie, Berlin 1935.Google Scholar
  2. 4).
    Über das Macaulaysche inverse System und dessen Bedeutung für die Theorie der linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, Abhandl. Math. Sem. d. Hansischen Univ.12 (1937), 127–132.Google Scholar
  3. 5).
    Wir setzen a≠(0), ≠(1) voraus.Google Scholar
  4. 6).
    Die Hilbertsche Funktion wird gewöhnlich nur für homogene Ideale erklärt und bezeichnet dann die Anzahl der modulo a linear unabhängigen Formen des Gradest. Die oben erklärte Hilbertsche Funktion für ein inhomogenes Ideal stimmt mit der Hilbertschen Funktion im gewöhnlichen Sinne für das “zugehörige” homogene Ideal überein. Da wir hier grundsätzlich inhomogene Ideale betrachten, werden wir an der obigen Erklärung auch im Falle eines homogenen Ideals festhalten. nämlich höchstens gleich der Anzahl der Potenzprodukte des Gradest+1; gilt das Gleichheitszeichen, so hat manH(a;t+1)=H(a;t)=H (a;T) fürT≥t; die Hilbertsche Funktion von a ist in diesem Falle konstant, d. h. a ist nulldimensional.Google Scholar
  5. 10).
    Wir sind nicht in der Lage, die Konvergenz der Macaulayschen Reihe (9) für irgend einen endlichen Bereich der Variablenx 1 −1, ..., xm −1 behaupten zu können. Im Falle eines nulldimensionalen Ideals, wo die Reihen (9) nur in endlicher Anzahl auftreten, erhält man automatisch konvergente Reihen; bei höheren Dimensionen jedoch läßt das angegebene Verfahren zu ihrer Herleitung viel zu große Freiheit, sodaß man immer in der Lage ist, die Reihen (9) unbeschadet ihrer formalen Eigenschaften so zu bestimmen, daß sie nirgends konvergieren.Google Scholar
  6. 11).
    Die angegebene Herleitung der Macaulayschen inversen Funktionen eignet sich wenig für praktische Zwecke. Wir werden aber in der Folge eine sehr einfache Methode zu ihrer wirklichen Herstellung entwickeln können.Google Scholar
  7. 12).
    Denn dann folgen umgekehrt aus (13), bzw. (13a) fürl 1=...=lm=0 die Gleichungen (7a), von denen wir bereits gesehen haben, daß sie die Zugehörigkeit eines Polynoms zum Ideal a charakterisieren.Google Scholar
  8. 13).
    Das Produkt ist wieder unter Beachtung der angegebenen Regel auszuführen, d. h. es sind alle Potenzprodukte wegzulassen, die mindestens einen positiven Exponenten aufweisen.Google Scholar
  9. 14).
    Siehe Krull a. a. O., Idealtheorie, Berlin Seite 67.Google Scholar
  10. 17).
    Der Ausdruck “Funktion” ist hier ebenso wie der Macaulaysche Ausdruck “inverse Funktion” zunächst nur in rein formalem Sinne zu verstehen. Wir meinen damit ganz allgemein eine Potenzreihe vom Typus (10a), ohne daß damit etwas über die Konvergenzeigenschaften dieser Reihe ausgesagt werden soll. Für den algebraischen Gesichtspunkt ist diese Frage von geringer Bedeutung, weil man mit divergenten Reihen formal genau so arbeitet wie mit konvergenten. Das Integralsystem eines Ideals enthält allerdings im allgemeinen (falls seine Dimension >0 ist) auch divergente Reihen, aber es enthält sicher auch alle möglichen konvergenten Reihen und damit alle im strengen Sinne der Analysis existierenden Integralfunktionen. Letztere müssen nämlich, da sie unbegrenzt oft differenzierbar sind, analytische Funktionen sein und also durch Potenzreihen vom Typus (10a) dargestellt werden können. Dabei sind komplexe Variable vorausgesetzt, weil nur dann die Begriffe unbegrenzt differenzierbar und analytisch zusammenfallen.Google Scholar
  11. 18).
    Statt der negativen Potenzx −i hat manx i/i! einzusetzen.Google Scholar
  12. 19).
    Gemeint ist natürlich die formale Übereinstimmung der bezüglichen Potenzreihenentwicklungen.Google Scholar
  13. 22).
    Zum Beweise überlege man, daß man die Macaulaysche Konstruktion des inversen Systems auch umkehren, d. h. zu gegebenem inversen System das Jdeal konstruieren kann. Die bei dieser Konstruktion resultierenden Polynome bilden dann zufolge der vorausgesetzten Eigenschaften der Funktionenu i (xj) ein nulldimensionales Ideal des Gradesn. Der Satz könnte ohne prinzipielle Schwierigkeiten auch auf mehrdimensionale Ideale erweitert werden.Google Scholar
  14. 23).
    u (x j+yj) ist wieder Abkürzung füru(x 1+y1, ..., xm+ym); siehe Anm. 8.Google Scholar
  15. 24).
    Die Voraussetzung der unbegrenzten Differenzierbarkeit könnte wahrscheinlich durch eine viel geringfügigere ersetzt werden; im einfachsten Fall der Funktionalgleichungu (x+y)=u (x) u (y) genügt die Voraussetzung der Stetigkeit, ja auch schon die bloße Voraussetzung, daßu (x) in einem beliebig kleinen Intervall der Variablenx beschränkt sei. Siehe darüber etwa Picard, Leçons sur quelques équations fonctionelles, Paris 1928, S. 1–4.Google Scholar
  16. 28).
    Siehe Satz 2. Der direkte Beweis, daß die MatrizenB α ein kommutatives hyperkomplexes System erzeugen, dessen Rang genaun ist, scheint weniger leicht zu sein.Google Scholar
  17. 29).
    Über diese Voraussetzung siehe Anm. 24.Google Scholar
  18. 31).
    Das ist also gewissermaßen eine Verallgemeinerung der Exponentialfunktion mit ihren bekannten Eigenschaften auf Matrizen. Naturgemäß können dadurch nur kommutative Gruppen betroffen werden, also eigentliche Untergruppen des vollen Matrizenringes.Google Scholar
  19. 34).
    Dau *(xj), bzw.u *(yj), nie Nullteiler ist, können wir es unbesorgt in den Nenner setzen; die beiden Quotienten können weder von den Variablenx j noch von deny j abhängen.Google Scholar
  20. 35).
    Der GrundkörperK muß allenfalls vorher eine passende Erweiterung erfahren haben. die Zahlena kli in (40) sind also identisch mit denjenigen in (37).Google Scholar
  21. 41).
    Die Ableitungen deru i(xj) bringen nämlich keine neuen linear unabhängigen Funktionen mehr hervor, siehe Satz 2.Google Scholar
  22. 43).
    Die folgenden Entwicklungen gelten wieder, soweit nicht anders bemerkt wird, für Ideale beliebiger Dimension.Google Scholar
  23. 46).
    Es ist jedenfallsq 1(xj)=1.Google Scholar
  24. 51).
    Siehe Anm. 38.Google Scholar
  25. 53).
    Wie man bei näherem Zusehen erkennt, beruht die kanonische Basis des § 3 auf einer Verallgemeinerung dieses in dem speziellen Fall der Laplaceschen Differentialgleichung geübten Algorithmus.Google Scholar
  26. 54).
    Füru −1 ist in diesen Formelnu 0 und füru 0 ist O zu setzen.Google Scholar
  27. 55).
    Die Ideale, bei denen das der Fall ist, heißen nach Macaulay perfekte Ideale und umfassen insbesondere alle Primideale, sodaß die gemachte Einschränkung kaum ins Gewicht fällt.Google Scholar
  28. 56).
    Siehe Anm. 17. Damit die Reihen (49) funktionentheoretisch Sinn haben, mußv(x 2) jedenfalls eine beliebig oft differenzierbare oder analytische Funktion sein. Für unseren algebraischen Standpunkt aber genügt es, daßv(x 2) eine formale Potenzreihe inx 2 ist.Google Scholar
  29. 57).
    Siehe Anm. 15.Google Scholar
  30. 58).
    Man wird diese Bedingung vielleicht auch streichen können, wenn man sich auf eine Idealtheorie in nicht kommutativen Polynombereichen stützen kann.Google Scholar
  31. 62).
    Die Ausbeute ist hier allerdings nicht sehr groß, da es sich immer nur um ganz speziell gebaute Diffentialgleichungen handelt, die, wie noch gezeigt wird, auf irgendeine Weise auf Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zurückgeführt werden können.Google Scholar
  32. 63).
    Abkürzung füru i(x1y1,x2y2,...,xmym); siehe Anm. 8.Google Scholar

Copyright information

© Akademische Verlagsgesellschaft M. B. H. 1939

Authors and Affiliations

  • Wolfgang Gröbner
    • 1
  1. 1.Rom

Personalised recommendations