Mathematische Annalen

, Volume 112, Issue 1, pp 493–565

Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie

  • Gerhard Gentzen
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Literatur

  1. 1).
    Ausführlichere und sehr lesenswerte Darlegungen zu diesen Fragen enthält der Aufsatz von D. Hilbert, Über das Unendliche, Math. Annalen95 (1926), S. 161–190.Google Scholar
  2. 2).
    Vgl. hierzu auch. H. Weyl, Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik, Math. Zeitschr.10 (1921), S. 39–79; und A. Fraenkel, Zehn Vorlesungen über die Grundlegung der Mengenlehre (oder auch die entsprechenden Abschnitte in Fraenkels Lehrbuch der Mengenlehre).Google Scholar
  3. 3).
    K. Gödel, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, Monatsh., f. Math. u. Phys.38 (1931), S. 173–198.Google Scholar
  4. 4).
    W. Ackermann, Begrundung des “tertium non datur” mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit, Math. Ann.93 (1925), S. 1–36; J. von Neumann, Zur Hilbertschen, Beweistheorie. Math. Zeitschr.26 (1927), S. 1–46; J. Herbrand, Sur la non-contradiction de l'Arithmétique, Journ. f. d. reine u. angew. Math.166 (1932), S. 1–8; G. Gentzen, Untersuchungen über das logische Schließen, Math. Zeitschr.39 (1935), S. 176–210, 405–431.Google Scholar
  5. 5).
    Es gibt schon verschiedene solche Formalisierungen, an die sich die hier vorgeführte mehr oder weniger anschließt.Google Scholar
  6. 6).
    Da die Bezeichnung, “Formel” ganz allgemein fur formalisierte Aussagen gelten soll, wäre der hier erklärte Sonderfall richtiger etwa als “zahlentheoretische Formel” zu bezeichnen. Da in der vorliegenden Arbeit keine anderen “Formeln” auftreten, kann dieser Zusatz unterbleiben. Entsprechendes gilt für die Begriffe “Term”, “Funktionszeichen” usw.Google Scholar
  7. 7).
    Ich will nicht, wie es sonst in der formalen Logik üblich ist, eine solche Formel als “für beliebige eingesetzte Zahlen gültig” deuten, da in mathematischen Beweisen die freien Variablen in allgemeinerem Sinne benutzt werden; siehe etwa 4. 5 3. Man sollte hier, wie auch bei gebundenen ∃ ·Variablen, sinngemäßer von “Unbestimmten” als von “Variablen” sprechen, doch ist die Bezeichnung “Variable” nun einmal allgemein üblich geworden.Google Scholar
  8. 9).
    In meiner Arbeit «Untersuchungen über das logische Schließen» brauchte ich das Wort «Sequenz» in einer allgemeineren Bedeutung, die ich aber hier nicht benötige. Für Leser jener Arbeit sei ferner erwähnt, daß der hier entwickelte Schlußweisenformalismus im wesentlichen dem dortigen «KalkülNK» entspricht. Auch der «KalkülLK» eignet sich für den Widerspruchsfreiheitsbeweis. Dieser wird dann sogar teilweise einfacher, doch weniger «natürlich».Google Scholar
  9. 10).
    Siehe für die „Aussagenlogik” (&, ⋎⊃, ⇁): Hilbert-Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik, S. 33; für die „Prädikatenlogik” (∀, ∃ dazu): K. Godel, Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls, Monatsh. f. Math. u. Phys.37 (1930), S. 349–360. Die dort benutzten Formalisierungen der Schlußweisen lassen sich ohne besondere Schwierigkeiten als āquivalent mit der von mir gewāhlten erweisen. (Vgl. die Äquivalenzbeweise im V. Abschnitt meiner Arbeit „Untersuchungen über das logische Schließen”.)Google Scholar
  10. 11).
    Siehe W. Ackermann, Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen, Math. Annalen99 (1928), S. 118–133.Google Scholar
  11. 13).
    Ein Beweis für dieses «t-Eliminierbarkeitstheorem» findet sich in dem Buche: Hilbert-Bernays, Grundlagen der Mathematik1 (1934), S. 422–457.Google Scholar
  12. 14).
    ——Vgl. die in Anm. 1). und 2) H. Weyl, Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik, Math. Zeitschr.10 (1921), S. 39–79; zitierten Arbeiten von Hilbert und Weyl.Google Scholar
  13. 15).
    Vgl. D. Hilbert, Über das Unendliche, Math. Annalen95 (1926), S. 161–190.Google Scholar
  14. 16).
    Vgl. A. Heyting, Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik, Sitzungsberichte d. Preuß. Akad. d. Wiss., phys.-math. Kl. (1930), S. 42–56.Google Scholar
  15. 17).
    K. Gödel, Zur intuitionistischen Arithmetik und Zahlentheorie, Ergebnisse eines math. Koll., Heft4 (1933), S. 34–38. —Das im Text genannte Ergebnis wurde etwas später, unabhängig von Gödel, auch von P. Bernays und mir gefunden.—Gödel ersetzt noch 532-1 durch 532-2, dies ist bei meinem Schlußregelnsystem nicht notwendig, weil ich keine Aussagenvariablen verwende.Google Scholar
  16. 18).
    Siehe etwa P. Bachmann, Die Elemente der Zahlentheorie, III, 10.Google Scholar
  17. 19).
    Ich könnte hier auch eine beliebige andere falsche Minimalformel verwenden.Google Scholar
  18. 20).
    Anmerkung bei de Korrektur: Die Nummern 14.1 bis 16. 11 sind im Februar 1936 an Stelle eines früheren Textes eingefügt worden.Google Scholar
  19. 22).
    Siehe auch K. Gödel, Über Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit, Ergebnisse eines math. Koll., Heft 3 (1932), S. 12–13.Google Scholar
  20. 23).
    Siehe P. Finsler, Formale Beweise und die Entscheidbarkeit, Math. Zeitschr. 25 (1926), S. 676–682, und die in Anm. 3) genannte Arbeit von K. Gödel.Google Scholar
  21. 24(.
    Siehe die in der vorigen Anmerkung genannte Arbeit von P. Finsler.Google Scholar
  22. 25).
    Siche etwn: L. E. J. Brouwer, Intuitionistische Betrachtungen über den Formalismus, Sitzunguber. d. Preuß. Akad. d. Wiss., phys.-math. Kl. (1928), S. 48–52; und A. Heyting, Mathematische Grundlagenforschung—Intuitionismus—Beweistheorie, Ergebnisse d. Math. und ihrer Grenzgebiete3 (1935), Heft 4.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1936

Authors and Affiliations

  • Gerhard Gentzen
    • 1
  1. 1.Göttingen

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