Mathematische Annalen

, Volume 81, Issue 2–4, pp 235–319

Über eine Erweiterung des Stieltjesschen Momentenproblems

  • Hans Hamburger
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Literatur

  1. 2).
    T. J. Stieltjes, “Rechersches sur les fractions continues” Ann. de la fac. des so. de Toulous8 (1894), S. J. 1–1229 (1985), S. A. 1–47 (im folgenden kurz mit Steiltjes8 und9 zitiert).Google Scholar
  2. 3).
    Stieltjes8, S. 9. — Vgl. auch O. Perron, “Die Lehre von den Kettenbrüchen”, Leipzig 1913, S. 5 (im folgeden kurz mit Perron, Lehrbuch zitiert).Google Scholar
  3. 4).
    Stieltjes8, S. 18–19, vgl. auch Perron, Lehrbuch S. 301–307 und S. 375.Google Scholar
  4. 5).
    Stieltjes8, S. 10–12.Google Scholar
  5. 6).
    M. A. Stern, Über die Kennzeichen der Kovergenz eines Kettenbruches, Journ. für Math.37 (1848), S. 255–272. Steiltjes8, S. 30–39 und S. 61–65. Perron, Lehrbuch, S. 234–235.Google Scholar
  6. 7).
    Eine ausführliche Darstellung des Steiltjesschen Integralbegriffs siehe Steiltjes8, S. 68–71, Perron, Lehrb, S. 362–374. —Der zitierte Satz findet sich bei Stieltjes8, S. 76–90; Perron, Lehrb., S. 402–410.Google Scholar
  7. 8).
    Stieltjes8, S. 92–93; Perron, Lehrbuch, S. 410–411.Google Scholar
  8. 9).
    Stiletjes8, S. 35; Perron, Lehrbuch, S. 413.Google Scholar
  9. 10).
    Stieltjes8, S. 48–49; Perron, Lehrbuch, S. 377–378.Google Scholar
  10. 11).
    Stieltjes8, S., 97–104; Perron, Lehrbuch, S. 390–391 und S. 417.Google Scholar
  11. 12).
    Jakbo Grommer, Ganze transzendente Funktionen mit lanter reellen Nullstellen. Diss. Göttingen 1914, abgedr. im Journ. f. r. u. angew. Mathematik144 (1914), S. 140–166; vgl. insbes. S. 137 ff. Das Grommersche Auswahlverfahren läßt sich übrigens durch Anwendung eines viel aUgemeineren elementaren Satzes über unendliche Folgen glelchmäßig beschränkter monotoner Funktionen von herrn Carathéodory gans wesentlich vereinfachen (vgl. § 7, Abschnitt1, insbesoridere AnmGoogle Scholar
  12. 13).
    Vgl. z. B. Perron, Lehrbuch, S. 322–326 u. S. 376.Google Scholar
  13. 14).
    Diese bequeme Schreibweise für einen Kettenbruch ist von Herrn Pringsheim eingeführt worden. Vgl. A. Pringsheim, Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche. Sitzungsber. der kgl. Bayer. Ak. d. Wiss. Math.-phys. Kl.28 (1898), S. 295 bis 324. Vgl. insbesondere S. 296. Der Parametert ist bereits von Stieltjes, allerdings nur in die Näherungsbrüche vonS(z) eingeführt worden, um eine spezielle Aufgabe zu lösen. Vgl. Stieltjes9, S. 14–22.Google Scholar
  14. 16).
    Das Kapitel I und die §§ 6 und 7 des Kapitels II enthalten Resultate, die an und für sich nicht als neu anzusehen sind, deren Zusammenstellung jedoch dem Leser das Verständnis des Nachfolgenden erleichtern dürfte. Hingegen sind wir in der Darstellung und Bezeichnungsweise, insbesondere in den § 2, 3, 6 und 7 von dem bisher gebräuchlichem Wege erheblich abgewichen.Google Scholar
  15. 16).
    Die Betrachtungen des § 1 leisten für den kettenbruch (K (z) im wesentlichen das Gleiche, wie die in den Abschnitten 1. und 2. der Einleitung enthaltenen Ausführungen für den KettenbruchS(z) — Übrigens wird im folgenden nicht mehr auf die Überlegungen der Einleitung Bezug genommen. — Eine ausführliche Darstellung der meisten im § 1 angegebenen Resultate findet sich in der Dissertation des Herrn Grommer [l. c. Anm18)]. Vgl. insbes. Kap. I, § 1–3, S. 118–125. Vgl. auch O. Perron, Lehrbuch, S. 322–326 und S. 375–376.Google Scholar
  16. 17).
    Vgl. Perron, Lehrbuch, S. 5.Google Scholar
  17. 18).
    Vgl. Perron, Lehrbuch, S. 16 und S. 378.Google Scholar
  18. 19).
    Vgl. Stieltjes8, S. 25.Google Scholar
  19. 20).
    Bei Stieltjes8, S. 25–28 finden sich analoge Darstellungen wie (18) und (20) für Zähler und Nenner von Näherungsbrüchen eines anderen Kettenbruchs (des Kettenbruchs (1) der Einleitung; vgl. auch Formel (85) und (86) des § 2), die auch in ähnlicher Weise abgeleitet sind.Google Scholar
  20. 21).
    Vgl. z. B. Die ausführliche Darstellung des Beweises von Satz III bei Grommer, l. c. Anm. 12)Jakob Grommer, Ganze transzendente Funktionen mit lauter reelen Nullstellen. Diess. Göttingen 1914, abgedr. im Journ. f. r. u. angew. Mathematik 144 (1914). S. 123–125. Vgl. auch Perron, Lehrbuch, S. 393–396.Google Scholar
  21. 22).
    Vgl. Steiltjes,8, S. 26–28.Google Scholar
  22. 23).
    Formel (39) findet sich für den speziellen Fall, daß die NäherungsnennerV v (z) bis auf einen konstanten Faktor gleich den Legendreschen Polynomen sind, zuerst in einer Arbeit von E. B. Christoffel: Über die Gaußsche Quadratur und eine Verallgemainerung derselben”, Journ. f. r. u. angew. Math.55, (1858), S. 61–82. Vgl. insbes. S. 73. Vgl. außerdem Perron, Lehrbuch, S. 381.Google Scholar
  23. 25).
    Einen Beweis für diese Darstellung der Koeffizientenc r ohne Benutzung der Kettenbrüche findet man in einer Arbeit von Herrn E. Fischer: “Über das Carathéodorysche Problem Potenzreihen mit positivem reellen Teil betreffend”. Rend. del Circ. mat. di Palermo32 (1911), S. 240–256; vgl. insbes. S. 244–248.Google Scholar
  24. 26).
    Vgl. Stieltjes8, S. 113–114. Sein Beweis ist von dem des Téxtes verschieden.Google Scholar
  25. 27).
    Vgl. Stieltjes9, S. 27; vgl. auch Perron, Lehrbuch, S. 888–889.Google Scholar
  26. 28).
    O. Szász: „Bemerkungen zu Herrn Perrons Erweiterung eines Markoffschen Satzes über die Konvergenz gewisser Kettenbrüche”, Math. Ann.76 (1915), S. 301–314; vgl. insbes. S. 304–305.Google Scholar
  27. 29).
    Vgl. Stieltjes8, S. 68–75. Vgl. auch die ausführliche Darstellung der wich tigsten Eigenschaften der Stieltjesschen Integrale, bei Perron, Lehrbuch, S. 362–374.Google Scholar
  28. 31).
    Den Sinn dieser oft angewandten Besesichangwelec erklärt die Definktionsgleichung (70) der saymptotisohen Bexiahung auf 8. 870.Google Scholar
  29. 33).
    Die Bedingung, daß die Belegungsfunktion Π (u) unendlich viele Wachstumestellen hat, dient nur dazu, den trivialen Fall auszuschalten, daß die aus den Koeffizientenc v gebildeten Hankelschen DeterminantenC m für allem>n sämtlich verschwinden und der assoziierte KettenbruchK (z) nicht mehr unendlich ist.Google Scholar
  30. 34).
    Vgl. Stieltjes 8, S. 48–49, vgl. auch Perron, Lehrbuch, S. 415–416.Google Scholar
  31. 35).
    Vgl. Perron, Lehrbuch, S. 377–378.Google Scholar
  32. 37).
    l. c. Anm. 12). Jakob Grommer, Ganze transzendente Funktionen mit lauter reellen Nullstellen. Diss. Göttingen 1914, abgedr. im Journ. f. r. u. angew. Mathematik144 (1914),Google Scholar
  33. 38).
    C. Carathéodory, Über die Fourierschen Koeffizienten monotoner Funktionen. Sitzber. Pr. Ak. Wiss.30 (1920), S. 559–573, vgl. insbesondere S. 560–571. Herr M. Riesz machte mich gelegentlich der zweiten Korrektur darauf aufmerksam, daß sich der Carathéodorysohe Satz bereits in einer Arbeit von Herrn E. HellyGoogle Scholar
  34. 39).
    Vgl. Grommer, l. c. Anm. 12) Jakob Grommer, Ganze transzendente Funktionen mit lauter reellen Nullstellen. Diss. Göttingen 1914, abgedr. im Journ. f. r. u. angew. Mathematik144 (1914), S. 137.Google Scholar
  35. 40).
    Vgl. z. B. Ch. J. de la Vallée Pouesin: “Coure d'Analyse infialtésimale”, 8Max édition,1, Louvsin 1914, S. 268.Google Scholar
  36. 42).
    Vgl. z. B. H. Hamburger, “Beiträge zur Konvergenztheorie der Stieltjesschen Kettenbrüche”, Math. Zeitschr.4 (1919), S. 186–222, vgl. insbes. S. 214–220; siehe auch dort die näheren Literaturangsben Anm. 17) S. 199.Google Scholar
  37. 43).
    Schon Herr C. Hamel hat es als zweckmäßig erkannt, bei einigen funktionentheoretischen Fragestellungen die Konvergenz eines unendlichen Kettenbruchs andern als üblich zu definieren, indem man mehr verlangt als nur die Konvergenz der ges wöhnlichen Näherungsbrüche. Vgl. dessen Arbeiten: “Über einen limitär-periodischen Kettenbruch”, Arch. d. Math. u. Phys.27 (1918), S. 37–43, vgl. insbes. S. 42–43 und “Eine charakteristische Eigenschaft beschränkter analytischer Funktionen”, Math. Ann.78 (1918), S. 257–269, vgl. inshes. S. 260.Google Scholar
  38. 44).
    Die in diesem Abschnitt bewiesenen Eigenschaften der vollständigen Konvergenz dienen nur dazu, dem Leser eine Anschauung von der Eigenart dieses Begriffes zu geben und werden im folgenden nicht mehr benutzt werden. Der Leser karin daher ohne Schaden für das Verständnis des Folgenden gleich mit der Lektüre den Abschnittes. 8 diesce Paragraphen auf Seite 292 fortfahren.Google Scholar
  39. 45).
    Vgl. Satz XIX auf S. 310.Google Scholar
  40. 46).
    A. Marhoff, Deux démonstrations de la convergence de certaines fractions continues. Acta Math.19 (1895), vgl. auch Perron, Lehrbuch., S. 885–887. O. Perron, Erweiterung eines Markoffschen Satzes über die Konvergenz gewisser Kettenbrüche. Math. Ann.74 (1913), S. 545–554. O. Szász, l c. Anm. 29).Google Scholar
  41. 47).
    Im FalleV n (0)=0 erniedrigt sich der Grad des Polynoms Π (u) noch um zwei, wie man aus den Formeln (27) des § 2 unmittelbar erkennt.Google Scholar
  42. 48).
    Vgl. Stieltjes 8, S. 29.Google Scholar
  43. 50).
    Vgl. das etwas weniger scharfe Resultat bei Stialtjes 8, S. 79–81 und S. 94.Google Scholar
  44. 51).
    Man beachte, daß die Relation (118) nicht gleichmäßig für allev vorausgesetzt ist.Google Scholar
  45. 52).
    Diesen Beweis, der meinen ursprünglichen, längeren ersetzt, verdanke ich einer freundlichen Mitteilung von Herrn v. Pidoll aus München bei der ersten Korrektur.Google Scholar
  46. 55).
    Stieltjes8, S. 50–61. Vgl. auch “Correspondance d'Hermite et de Stieltjes”2 (Paris 1905); Brief vom 14.2. 94, S. 369.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1920

Authors and Affiliations

  • Hans Hamburger
    • 1
  1. 1.Berlin

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