Mathematische Zeitschrift

, Volume 23, Issue 1, pp 89–154

Über einige Existenzprobleme der Hydrodynamik homogener, unzusammendrückbarer, reibungsloser Flüssigkeiten und die Helmholtzschen Wirbelsätze

  • Leon Lichtenstein
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Literatur

  1. 1).
    Vgl. L. Lichtenstein, Über einige Hilfssätze der Potentialtheorie I., Math. Zeitschr.23 (1925), S. 72–88.Google Scholar
  2. 2).
    Vgl. A. Friedmann, Sur les tourbillons dans un liquide à temperature variable, C. R.163 (1916), S. 219–222.Google Scholar
  3. 3).
    Journal für Math.55 (1858), S. 25–55.Google Scholar
  4. 4).
    Vgl. L. Lichtenstein, Untersuchungen über die Gestalt der Himmelskörper. Zweite Abhandlung. Eine aus zwei getrennten Massen bestehende Gleichgewichtsfigur rotierender Flüssigkeit. Math. Zeitschr.12 (1922), S. 201–218.Google Scholar
  5. 5).
    Vgl. loc. cit. 3) Journal für Math.55 (1858), S. 25–55.Google Scholar
  6. 6).
    Vgl. L. Lichtenstein, Untersuchungen über die Gestalt der Himmelskörper. Dritte Abhandlung. Ringförmige Gleichgewichtsfiguren ohne Zentralkörper. Math. Zeitschr.13 (1922), S.82–118.Google Scholar
  7. 7).
    Vgl. N. Günther, Sur un problème d'hydrodynamique, C. R.177 (1923), S. 865–867. Herr Günther bedient sich. a. a. O. eines von dem hier gebrauchten verschiedenen Verfahrens sukzessiver Approximationen. Nähere Angaben über den Konvergenzbeweis werden nicht gemacht. Man vergleiche auch eine kurze vorläufige Mitteilung, die von Herrn Günther dem Kongreß für angewandte Mathematik und Mechanik in Delft im April 1924 vorgelegt worden ist.Google Scholar
  8. 8).
    Kürzer einerH-Bedingung (mit dem Ezponenten λ).Google Scholar
  9. 10).
    Wir nennen im folgenden “Gebiet” das, was gelegentlich als “offenes Gebiet” bezeichnet wird. Die abgeschlossene Menge, bestehend aus einem Gebiet und seinem Rand, wird nach einem Vorschlage von Herrn Rosenthal “Bereich” genannt. Wir sprechen von einem BereicheT 0 oder auch, wenn die Begrenzung mit hervorgehoben werden soll, von einem BereicheT 0+S 0.Google Scholar
  10. 12).
    Die Bewegung ist, wie man sieht, vonp * unabhängig; dap * beliebig gewählt wählt werden kann, so ist der Druckp durch die übrigen Bedingungen nur bis auf eine willkürliche additive Funktion der Zeit bestimmt.Google Scholar
  11. 14).
    Vgl. A. Korn, Sur les équations de l'élasticité, Annales de l'École Normale (3),24 (1907), S. 9–75, insb. S. 29–30. Eine Zusammenstellung der Sätze dieser Art nebst genauen Literaturangaben findet sich in meinem Encyklopädieartikel II C 3 S. 199–210. Siehe auch meine unmittelbar vorangehende Abhandlung, § 5.Google Scholar
  12. 16).
    Die Literatur findet sich in meinem Encyklopädieartikel II C 3, S. 199–209 angegeben.Google Scholar
  13. 22).
    Vgl. bsp. A. Korn, l. c. 14). Auf die Existenz und Stetigkeit der fraglichen Ableitungen ist übrigens bereits am Schluß des § 3 hingewiesen worden.Google Scholar
  14. 27).
    Es wird dabei vorausgesetzt, daß beim Übergang von Σ in das Innere der Flüssigkeitsmasse,Θ längs einer Normale zu Σ die Funktion Ψ allemal positive Werte erhält. Diese Annahme bildet natürlich keine Einschränkung der Allgemeinheit.Google Scholar
  15. 29).
    Man. vgl. hierzu etwa meinen Encyklopädieartikel II C 3, S. 197–199 sowie S. 212–213.Google Scholar
  16. 30).
    Vgl. S. Kirchhoff, Mechan's, Leipzig 1876, S. 233–250.Google Scholar
  17. 31a).
    Sie sind von Herrn A. Friedmann, C. R.163 (1916), S. 219–222.Google Scholar
  18. 31b).
    Mitt. der Math. Ges. Charkow, 6S. (russisch, abgeschlossen 1915), angegeben worden, Die zunächst folgenden Ausführungen des Textes bilden eine Modifikation der Darstellung von P. Appell, Traité de Mécanique rationnelle Bd. III (1921), S. 596–599. Herr Friedmann betrachtet übrigens den allgemeineren Fall einer kompressiblen Flüssigkeit.Google Scholar
  19. 32).
    Für alle in Betracht kommendent gleichmäßig.Google Scholar
  20. 35).
    Unter geeigneten Voraussetzungen bezüglich des Verhaltens im Unendlichen, auf die freilich a. a. O. nicht näher eingegangen wird.Google Scholar
  21. 36).
    Wir nehmen darüber hinaus an, daß der Krümmungsradius vonS 1 bzw.S 2 als Funktion der Bogenlänge derH-Bedingung genügt. Die im vorstehenden zusammengestellten Voraussetzungen entsprechen genau den im ersten Kapitel der FlächeS auferlegten Bedingungen.Google Scholar
  22. 37).
    D. h. der Höchstwert der Entfernung zweier Punkte vonS 1 voneinander.Google Scholar
  23. 38).
    Aus Symmetriegründen nimmt (17) aufS 1 undS 2 denselben Wert an.Google Scholar
  24. 39).
    Auch jetzt nimmt aus Gründen der Symmetrie der Ausdruck (19) aufS 1 undS 2 denselben Wert an.Google Scholar
  25. 40).
    Untersuchungen über die Gestalt der Himmelskörper. Zweite Abhandlung. Eine aus zwei getrennten Massen bestehende Gleichgewichtsfigur rotierender Flüssigkeit, Math. Zeitschr.12 (1922), S. 201–218.Google Scholar
  26. 41).
    Vgl. die Fußnote Unter geeigneten Voraussetzungen bezüglich des Verhaltens im Unendlichen, auf die freilich a. a. O. nicht näher eingegangen wird.Google Scholar
  27. 42).
    Vgl. G. Kirchhoff, Mechanik, S. 261–264. Leipzig 1876.Google Scholar
  28. 43).
    Vgl. Th. v. Kármán, Über den Mechanismus des Widerstandes, den ein bewegter Körper in einer Flüssigkeit erfährt, Gött. Nachr. 1911, S. 509–517.Google Scholar
  29. 44).
    Auf die freilich a. a. O. nicht näher eingegangen wird.Google Scholar
  30. 45).
    Vgl. J. Weingarten, Zur Theorie der Wirbelringe, Gött. Nachr. 1906, S. 81–93. S. auch L. S. Da Rios, Sul moto dei filetti vorticosi di forma qualunque, Palermo Rendiconti29 (1910), S. 354–368.Google Scholar
  31. 46).
    Vgl. L. Lichtenstein, Untersuchungen über die Gestalt der Himmelskörper. Dritte Abhandlung. Ringförmige Gleichgewichtsfiguren ohne Zentralkörper, Math. Zeitschr.13 (1922), S. 82–118.Google Scholar
  32. 47).
    Vgl. beispielsweise H. Lamb, Lehrbuch der Hydrodynamik, Leipzig und Berlin 1907, S. 275 ff. Die a. a. O. in der Formel (4) vorkommende Größ κ hat im vorliegenden Falle den Wert 2J.Google Scholar
  33. 48).
    In (2), wie auch später, bezeichnetO das bekannte durch Landau eingebürgerte Symbol;O(d 3/l 3) ist beispielsweise eine Funktion, die für alle hinreichend kleinen Werte von |d/l| in der Formd 3/l 3 x beschränkte Funktion vonx, d undl dargestellt werden kann.Google Scholar
  34. 58).
    Vgl. L. Lichtenstein, Untersuchungen über die Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten, deren Teilchen einander nach dem Newtonschen Gesetze anziehen. Zweite Abhandlung, Math. Zeitschrift7(1920), S. 126–231, insb. S. 156–165; Erste Abhandlung, ebenda6 (1918), S. 229–284, insb. S. 277–278.Google Scholar
  35. 61).
    Vgl. die zweite Abhandlung S. 158 die Formel (13), S. 162 die Formeln (41) und (42).Google Scholar
  36. 62).
    Lord Kelvin gibt einen analogen Ausdruck mit 1/4 an Stelle von 1, desgleichen W. M. Hicks. Die Formel (77) finden hingegen J. J. Thomson, T. C. Lewis und C. Chree. Vgl. A. E. H. Love, Hydrodynamik II, Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften IV 16, S. 118, Fußnote 113).Google Scholar
  37. 63).
    Daß ζ diese Eigenschaft hat, ließe sich auch wie in der in der Fußnote 58) an zweiter Stelle genannten Abhandlung zeigen.Google Scholar
  38. 64).
    Die Wirbelstärke ist konstant. Der geometrische Ort der Mittelpunkte steht auf der Ebene der Kreise senkrecht.Google Scholar
  39. 65).
    Vgl. loc. cit. 3) Journal für Math.55 (1858), S. 25–55.Google Scholar

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© Springer-Verlag 1925

Authors and Affiliations

  • Leon Lichtenstein
    • 1
  1. 1.Leipzig

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