Mathematische Zeitschrift

, Volume 13, Issue 1, pp 28–55 | Cite as

Bemerkungen zu einem Satz von J. H. Grace über die Wurzeln algebraischer Gleichungen

  • G. Szegö
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Literatur

  1. 1).
    J. H. Grace, The zeros of a polynomial. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society11 (1900–1902), S. 352–357.Google Scholar
  2. 2).
    Solche Gleichungen bezeichne ich im folgenden kurz als apolarGoogle Scholar
  3. 3).
    Bezüglich der Bezeichnung “Kreisbereich” vgl. man § 1.Google Scholar
  4. 4).
    Diese Sätze sind auch von Herrn J. Egerváry bewiesen worden in einer Arbeit, die ungarisch erscheinen wird. Sein Beweis stützt sich auf ähnliche Betrachtungen, wie sie von Heawood für einen spezielleren Satz angewendet worden sind. (Vgl. a. a. O.18).)Google Scholar
  5. 10).
    Ist ξ=∞, so sollen diese Gleichungen, im Einverständnis mit den frühere Festsetzungen, so gelesen werden:s γ−1=0.Google Scholar
  6. 12).
    Ist ξ=∞, so bedeutet dies:A′ (x) ≠0.-Die Behauptung (2) ist eigentlich mit einem Theorem von Laguerre gleichwertig. Vgl. a. a. O.25).Google Scholar
  7. 14).
    Auf diese Formulierung des Faltungssatzes hat mich Herr I. Schur aufmerksam gemacht.Google Scholar
  8. 15).
    Vgl. Egervary, a. a. O.4. — An dieser Stelle erwähne ich, daß auch Herr A. Cohn einen Beweis für Satz 3 gegeben hat, der — kurz skizziert — auf dem folgenden Gedanken beruht: Er wirft mit Hilfe einer linearen Transformation des Einheitskreises in sich die eine Wurzel der gegebenen (E)-Gleichung in den Nullpunkt hinein, wodurch die sog. algebraische Invariante der gegebenen Gleichungen sich nicht wesentlich ändert und sich anderseits die unmittelbare Möglichkeit bietet, die Behauptung auf Gleichungen (n-1)-ten Grades zurückzuführen.Google Scholar
  9. 16).
    A. a. O. 4) . — Durch diesen Satz ist eine Fragestellung von Laguerre [Oeuvres1 (1898), S. 199–200] endgültig erledigt. Vgl. noch G. Pólya, Question 4240 [Interméd. des math.20, (1913), S. 145–146], wo der Satz als Vermutung formuliert ist.Google Scholar
  10. 17).
    Vgl. auch Egerváry, a. a. O.4). — J. Schur, Zwei Sätze über algebraische Gleichungen mit lauter reellen Wurzeln [Journ. f. d. reine u. angewandte Mathematik,144 (1914), S. 75–88], sowie auch G. Pólya und J. Schur, Über zwei Arten von Faktorenfolgen in der Theorie der algebraischen Gleichungen (Ebenda, S. 89–113).Google Scholar
  11. 18).
    P. J. Heawood, Geometrical relations between the roots off(x)=0,f'(x)=0 [Quarterly Journal. of Mathematics,38 (1907), S. 84–107].Google Scholar
  12. 19).
    A. a. O.1), S. 356.Google Scholar
  13. 20).
    Vgl. Grace, a. a. O.1), Heawood, a. a. O.18).Google Scholar
  14. 21).
    Vgl. Grace, a. a. O.1), Heawood, a. a. O.18).Google Scholar
  15. 24).
    Vgl. etwa E. Heine, Theorie der Kugelfunktionen, Zweite Auflage (Berlin, G. Reimer, 1878),1, S. 35.Google Scholar
  16. 25).
    Sur la résolution des équations numériques (Nouvelles Annales de Mathématiques), (2)17 (1878) und Oeuvres de Laguerre,1 (1898), S. 56–63.Google Scholar
  17. 26).
    Istk' (ξ)=0, so ist diese Wurzel als im unendlich fernen Punkt gelegen aufzufassen.Google Scholar
  18. 27).
    A. a. O.25). Umgekehrt läßtsich aus diesem Satz von Laguerre der im Text stehende Satz einfach ableiten.Google Scholar
  19. 28).
    D. h. Kreis oder Gerade.Google Scholar
  20. 29).
    Dies ist natürlich immer unter zugrundelegung einer bestimmten Schar von Kurven zu verstehen; etwa wie hier, unter Zugrundelegung der homofokalen Ellipsen (bzw. Hyperbeln und Parabeln) mit den oben angegebenen Brennpunkten.Google Scholar
  21. 30).
    Vgl. etwa L. Feiér, Über Kreisgebiete, in denen eine Wurzel einer algebraischen Gleichung liegt [Jahresbericht der deutschen Math. Vereinigung26 (1917), S. 114–128], S. 123.Google Scholar
  22. 31).
    Vgl. etwa Pascalsches Repertorium, 2. Aufl. (B. G. Teubner, 1910, Erste Hälfte, Kapitel V (von H. E. Timerding), S. 378. — Ich verdanke Herrn Ostrowski, meine Aufmerksamkeit auf diesen Satz gelenkt zu haben.Google Scholar
  23. 32).
    Vgl. a. a. O.30).Google Scholar
  24. 33).
    Herr Fekete hat mich aufmerksam gemacht, daß Satz 20 auch direkt aus dem Faltungssatze gefolgert werden kann.Google Scholar
  25. 34).
    J. W. Alexander, II., Functions which map the interior of the unit circle upon simple regions [Annals of Mathematics, (2),17, (1915), S. 12–22]. — S. Kakeya, On zeros of a polynomial and its derivatives [Tôhoku Mathematical Journal,11 (1917), S. 5–16].Google Scholar
  26. 35).
    Vgl. Kakeya, a. a. O.34).Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1922

Authors and Affiliations

  • G. Szegö
    • 1
  1. 1.Berlin

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