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Mathematische Annalen

, Volume 52, Issue 2–3, pp 369–416 | Cite as

Ueber allgemeine Thetaformeln

  • A. Krazer
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leteratur

  1. *).
    Prym, Ableitung einer allgemeinen Thetaformel. Acta math. Bd. 3 (1883) pag. 216. Krazer und Prym, Neue Grundlagen einer Theorie der allgemeinen Thetafunctionen. Leipzig 1892.Google Scholar
  2. **).
    Mit dieser Umformung unendlicher Reihen beschäftigt sich auch eine inzwischen erschienene Abhandlung des Herrn Huebner, Ueber die Umformung unendlicher Reihen und Producte mit Beziehung auf die Theorie der elliptischen Functionen (Progr. Königsberg 1891), deren Resultate aber nur im Falle einfach unendlicher Reihen mit den hier angegebenen übereinstimmen.Google Scholar
  3. *).
    Smith, On Systems of Linear Indeterminate Equations and Congruences (1861). Coll. math. Papers, Vol. 1, pag. 367.Google Scholar
  4. **).
    Frobenius, Theorie der linearen Formen mit ganzen Coefficienten. J. für Math. Bd. 86 (1879), pag. 146.Google Scholar
  5. ***).
    Krazer und Prym, Neue Grundlagen etc.Krazer und Prym, Neue Grundlagen einer Theorie der allgemeinen Thetafunctionen. Leipzig 1892. pag. 70.Google Scholar
  6. †).
    Krazer und Prym, a. a. O. Neue Grundlagen einer Theorie der allgemeinen Thetafunctionen. Leipzig 1892. pag. 16.Google Scholar
  7. **).
    Eine Mittheilung der Formel, aber ohne die Absicht der Veröffentlichung geschah an die Münchener Akademie am 11. August 1885.Google Scholar
  8. *).
    Frobeniusa. a. O., p. 184.Google Scholar
  9. **).
    Frobeniusa. a. O., p. 192.Google Scholar
  10. ***).
    Frobeniusa. a. O., p. 148 u. f.Google Scholar
  11. ****).
    Frobeniusa. a. O., p. 157 u. f.Google Scholar
  12. *).
    Frobenius a. a. O., p. 192; Smith, p. 399.Google Scholar
  13. **).
    Frobenius a. a. O., p. 183; Smith, p. 399.Google Scholar
  14. ***).
    Frobenius a. a. O., p. 193.Google Scholar
  15. *).
    Krazer und Prym, Neue Grundlagen Krazer und Prym, Neue Grundlagen einer Theorie der allgemeinen Thetafunctionen. Leipzig 1892 etc. p. 22 u. f.Google Scholar
  16. *).
    Krazer und Prym, Neue Grundlagen etc., Krazer und Prym, Neue Grundlagen einer Theorie der allgemeinen Thetafunctionen. Leipzig 1892. pag. 72, Formel (I0).Google Scholar
  17. **).
    a. a. O. pag. 77, Formel (I2).Google Scholar
  18. ***).
    a. a. O. pag. 77, Formel (I3).Google Scholar
  19. δ).
    a. a. O. pag. 77, Formel (I2)Google Scholar
  20. *).
    a. a. O. pag. 7, Formeln (A) und (D).Google Scholar
  21. **).
    Jacobi, Theorie der elliptischen Functionen aus den Eigenschaften der Thetareihen abgeleitet. Ges. Werke Bd. 1, pag. 515.Google Scholar
  22. ***).
    Schröter, De aequationibus modularibus. Inaug. Diss. Königsberg 1854, pag. 9.Google Scholar
  23. δ).
    Gordan, Beziehungen zwischen Thetaproducten. J. für Math. Bd.66 (1866), pag. 191.Google Scholar
  24. *).
    Königsberger, Ueber die Transformation der Abel'schen Functionen erster Ordnung. J. für Math., Bd.64, (1865), pag. 33.Google Scholar
  25. **).
    Thomae, Die allgemeine Transformation der Θ-Functionen mit beliebig vielen Variabeln. Inaug.-Diss. Göttingen 1864, pag. 5.Google Scholar
  26. ***).
    Krazer und Prym, Neue Grundlagen etc. Krazer und Prym, Neue Grundlagen einer Theorie der allgemeinen Thetafunctionen. Leipzig 1892. pag. 73 u. f.Google Scholar
  27. δ).
    Krazer und Prym, Neue Grundlagen etc., Krazer und Prym, Neue Grundlagen einer Theorie der allgemeinen Thetafunctionen. Leipzig 1892. pag. 20, Formel (Θ).Google Scholar
  28. *).
    Schröter, De aequationibus modularibus. Inaug.-Diss. Königsberg 1854, pag. 7, Formel (1).Google Scholar
  29. **).
    Fürp>1 finden sich solche Formeln zuerst bei Königsberger, Ueber die Transformation der Abel'schen Functionen erster Ordnung. J. für Math. Bd. 64 (1865), pag. 24.Google Scholar
  30. ***).
    Schröter, Ueber die Entwicklung der Potenzen der elliptischen Transcendenten 412-1 und die Theilung dieser Functionen. Hab.-Schrift, Breslau 1855, pag. 6, Formel 5.Google Scholar
  31. δ).
    Hoppe, Verallgemeinerung einer Relation der Jacobi'schen Functionen. Archiv f. Math. u. Phys. Th.70 (1884), pag. 403, Formel (9). Die von Herrn Huebner, Ueber die Umformung unendlicher Reihen und Producte mit Beziehung auf die Theorie der elliptischen Functionen (Progr. Königsberg 1891) angegebenen Formeln (I)–(VI) pag. 37 u. f. entstehen aus solchen Formeln in Verbindung mit Formeln (4).Google Scholar
  32. *).
    Krause, Ueber Fourier'sche Entwicklungen im Gebiete der Thetafunctionen zweier Veränderlichen. Math. Ann. Bd.27 (1886), pag. 424, Formel (11). Etwas früher wurde die Formel (16) für den Fall einfach unendlicher Thetareihen und unter der speciellen Annahmep (1)=p (2)=...=p (n)=1 von Herrn Krause in seiner Abhandlung: Zur Transformation der elliptischen Functionen. Leipz. Ber. 1886, pag. 39 mitgetheilt.Google Scholar
  33. *).
    Die von Herrn Krause am Ende seiner oben citirten Abhandlung in den Leipz. Ber. 1886 pag. 43 gemachte Bemerkung ist demgemäss zu berichtigen.Google Scholar
  34. **).
    Gordan, Beziehungen zwischen Thetaproducten. J. für Math. Bd. 66 (1866) pag. 189, Formel (VIII). Später als die Herren Krause und Gordan hat die Formeln (16) und (27) Herr Mertens, Ueber eine Verallgemeinerung der Schröter'schen Multiplicationsformeln für Thetareihen (Progr. Köln 1889), angegeben.Google Scholar
  35. ***).
    Krause, Ueber Fourier'sche Entwicklungen im Gebiete der Thetafunctionen zweier Veränderlichen. Math. Ann. Bd.27, (1886), pag. 425, Formel (4).Google Scholar
  36. δ).
    Vergl. hiezu ausser den schon citirten Abhandlungen noch: Göring, Untersuchungen über die theilwerthe der Jacobi'schen Thetafunctionen und die im Gauss'schen Nachlasse mitgetheilten Beziehungen derselben. Math. Ann. Bd. 7 (1874) pag. 311.Google Scholar
  37. δ)a.
    Krause, Die Transformation der hyperelliptischen Functionen erster Ordnung. Leipzig 1886.Google Scholar
  38. δ)b.
    Möller, Zur Transformation der Thetafunctionen. Inaug.-Diss. Rostock 1887.Google Scholar
  39. δ)c.
    Krause, Zur Transformation der Thetafunctionen. Leipz. Ber. 1893, pag. 99, 349, 523 und 805; 1896, pag. 291.Google Scholar
  40. δ)d.
    Krause, Ueber die Transformationstheorie der elliptischen Functionen. Jahresb. der d. Math. Ver. Bd. 4 (1894–1895), pag. 121.Google Scholar
  41. δ)e.
    Krause, Theorie der doppeltperiodischen Functionen einer veränderlichen Grösse. Leipzig. Bd. 1 (1895), Bd. 2 (1897).Google Scholar
  42. δ)f*).
    Prym, Ableitung einer allgemeinen Thetaformel. Acta math. Bd. 3 (1883), pag. 216.Google Scholar
  43. **).
    Krazer und Prym, Neue Grundlagen etc. Krazer und Prym, Neue Grundlagen einer Theorie der allgemeinen Thetafunctionen. Leipzig 1892. pag. 33 u. f. und pag. 47 u. f.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1899

Authors and Affiliations

  • A. Krazer
    • 1
  1. 1.Strassburg i. E.

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