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Mathematische Annalen

, Volume 68, Issue 3, pp 367–408 | Cite as

Über neue Gültigkeitsbedingungen für die Fouriersche Integralformel

  • Alfred Pringsheim
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Literatur

  1. *).
    Bd. 16 (1907), p. 1–16.Google Scholar
  2. **).
    Bd. II, 1 (Leipzig 1885), p. 377.Google Scholar
  3. *.
    Duurch meinen Vortrag veranlaßt hat Herr Luciano Orlando in den Rend. Accad. Linc. (5), 17 (1908), p. 367 einen an die Darstellung von H. Weber (Die Differentialgleichungen der mathematischen Physik, 1 [1900], p. 39) anknüpfenden Beweis der von mir angegebenen Gültigkeitsbedingung veröffentlicht, der mir indessen weniger durchsichtig zu sein scheint, als der hier mitgeteilte.Google Scholar
  4. *).
    Am vollständigsten bei Ch. de la Vallée-Poussin, Ann. soc. scientif. Bruxelles, 16 B. (1891/2), p. 150–180; Journ. de math. (4), 8 (1891), p. 421–467.Google Scholar
  5. *).
    Schon bei Euler, Institutiones calculi integralis, T. IV, Suppl. V, § 126 (p. 338 der 3ten Auflage, Petersburg, 1845). Über die Herleitung derselben Formel bei Fourier vgl. meinen in Fußn.), p. 367 zitierten Aufsatz, p. 11.Google Scholar
  6. ***).
    S. z. B. Harncck, Elem. der Diff.-uund Int.-Rechnung, p. 290 Formel 3a).Google Scholar
  7. **).
    Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe, § 10=Ges. Werke (1te Aufl. 1876), p. 240. Der nur auf den Fall einesendlichen ϕ (α) sich beziehende Beweis kann in analoger Weise, wie dies bei dem hier gegebenen Beweise geschieht, entsprechend vervollständigt werden.Google Scholar
  8. *).
    Während der Riemannsche Beweis ganz wesentlich auf derGanzzahligkeit vonp und derPeriodizität von sinpx beruht, kommen diese Eigenschaften bei dem hier eingeschlagenen Beweisverfahren überhaupt nicht in Betracht. Die vorliegende Beweismethode ist infolgedessen, wie unmittelbar zu sehen, auch auf Integrale merklich allgemeinerer Natur (vgl. Du Bois-Reymond, Journ. f. Math.79 [1875], p. 41) anwendbar, worauf ich bei anderer Gelegenheit noch zurückzukommen hoffe. — Einen sowohl von dem Riemannschen, als auch von dem hier mitgeteilten durchaus verschiedenen Beweis der Formeln (A) (unter etwas engeren Voraussetzungen) gibt Harnack in der deutschen Ausgabe von Serrets Differential- und Integral-Rechnung, Bd. II, 1 (Leipzig 1885), p. 345. Ist ϕ (α) im Intervalle (a o, A) endlich undmonoton bez.abteilungsweise monoton oder auch nur “monotonoid” (d. h. in zwei entgegengesetzt monotone endliche Komponenten zerlegbar, cf. p. 16), so ergeben sich die Formeln (A) ganz unmittelbar durch Anwendung des zweiten Mittelwertsatzes, und man erkennt noch überdies, daß in diesem Falle die fraglichen Integrale bei wachsendemp mindestens proportional mit 1/p abnehmen.Google Scholar
  9. **).
    S. z. B. Harnack, Math. Ann. Bd. 21 (1888), p. 324; ausführlicher Math. Ann. Bd. 24 (1884), p. 220.Google Scholar
  10. ***).
    P. Du Bois-Reymond, Journ. f. Math. 79 (1875), p. 54. Etwas ausführlicher:Zur Geschichte der trigonometrischen Reihen (Tübingen ohne Jahreszahl, erschienen 1880) p. 32.Google Scholar
  11. *).
    Ich führe von den verschiedenen, bisher für die Gültigkeit der Formel (II) abgeleiteten Bedingungen nur die einfachsten, zugleich aber auch umfassendsten an und füge zur größeren Bequemlichkeit des Lesers auch deren sehr einfache Begründung hinzu. Mit größter Vollständigkeit ist die Frage nach der Gültigkeit der Relation (II) von T. Brodén behandelt worden: Math. Ann. Bd. 52 (1899), p. 177–227. Daselbst findet man auf p. 177 auch ein ausführliches Literatur-Verzeichnis, welchem hier noch eine seither erschienene Abhandlung von H. Lebesgue (Math. Ann. Bd. 59 [1905], p. 251–271) und desselben AutorsLeçons sur les séries trigonométriques (Paris 1906) hinzugefügt werden mögen.Google Scholar
  12. **).
    S. p. 382, Fußn.Google Scholar
  13. ***).
    Par. C. R. 92 (1881), p. 228. Ausführlicher: Cours d'analyse, 2ième éd., 1 (1893), p. 55; 2 (1894), p. 228. Die Klasse der hier alsmonotonoid bezeichneten Funktionen deckt sich, wie Jordan zeigt, mit derjenigen der von ihm eingeführten Funktionenmit beschränkter Schwankung (“fonctions à variation bornée”).Google Scholar
  14. *).
    Vgl. das über die Bedingung III auf p. 382 Gesagte.Google Scholar
  15. *).
    Vgl. Fußn. *), p. 392 und Fußn. *). p. 394.Google Scholar
  16. *).
    Und zwar dann eo ipsoabsolut integrabel (vgl. p. 397).Google Scholar
  17. **).
    Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, 216 Aufl. 1 (1878), p. 63. Vgl. dazu meine Bemerkungen Münch. Ber. 30 (1900), p. 65 ff., welche übrigens dahin zu ergänzen sind, daß die “Dirichletsche Bedingung,” von welcher dort ausschließlich die Rede ist, selbstverständlich durch die Bedingungmonotonoiden Verhaltens ersetzt werden kann.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1910

Authors and Affiliations

  • Alfred Pringsheim
    • 1
  1. 1.München

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