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Mathematische Annalen

, Volume 99, Issue 1, pp 687–706 | Cite as

Über gewisse notwendige Determinantenkriterien für die Fortsetzbarkeit einer Potenzreihe

  • G. Pólya
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References

  1. 1).
    Es ist an und für sich gleichgültig, ob man ein Funktionselement betrachtet, das im Punktz=0 regulär ist, wie es gewöhnlich geschieht, oder eines, das im Punktz=∞ regulär ist, wie es hier geschieht. Ich mache den Übergang vonz zu 1/z jetzt, um ihn nicht später, bei der Betrachtung der Tschebyscheffschen Polynome, an unbequemerer Stelle machen zu müssen.Google Scholar
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    Für den Determinantensatz ——vgl. z. B.a. a. O. 2), Bd. I Aufgabe 68, S. 48 und S. 208. Eine allgemeinere Ungleichung findet sich bei G. Szegö, A. Hankel-féle formákról, Math. és természettudományi értesitö36 (1918), S. 497–538, vgl. S. 514. In dieser Arbeit ist übrigens der asymptotische WertA 0(k) für die Funktion (29) genauer bestimmt als hier durch (22) geschehen ist. Für die spezielle Funktion (20) findet sich übrigens eine (22) enthaltende genauere Abschätzung schon bei D. Hilbert, Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms, Acta Math.18 (1894), S. 155–159.Google Scholar
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    ——Vgl. z. B.a. a. O. 2), Aufgabe 121, S. 21 und S. 195.Google Scholar
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    ——Vgl. a. a. O. 4c) S. 23–24 oder a. a. O. 2) B. G. Pólya und G. Szegö, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis (1925) 2, S. 102–105, Aufgabe 24, S. 103, und S. 305.Google Scholar
  21. 20).
    ——In 4a) ; 4b) F. Carlson, Über Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten, Math. Zeitschr.9 (1921), S. 1–13; und 4e) G. Szegö, Tschebyscheffsche Polynome und nicht-fortsetzbare Potenzreihen, Math. Annalen87 (1922), wurden Kriteria benutzt, die in (30) als Spezialfälle enthalten sind, nämlich fürk=n undk=n+1; dies entspricht dem Sonderfall ϰ=1/2 von (4). Das in 4c) G. Pólya, Sur les séries entières à coefficients entiers, Proceedings of the London Math. Society (2)21 (1922) benutzte Kriterium entspricht dem Sonderfall ϰ=1 von (4) und unterscheidet sich von (8) in derselben Spezialisierung, wie das in 4c) G. Pólya, Sur les séries entières à coefficients entiers, Proceedings of the London Math. Society (2)21 (1922) erreichte Resultat von dem Ergebnis des Textes: Es wurde derzeit\(\mathfrak{A}\) der (mit dem Satz V der Nr. 1 zusammenhängenden) Restriktion unterworfen, daß entweder die Komplementärmenge von\(\mathfrak{A}\) oder die von\(\mathfrak{A}'\) einfach zusammenhängend ist.Google Scholar
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    ——Vgl a. a. O. 4a), S. 508. Rationalzahlig heißt: entweder sind allec 0,c 1,c 2,... rational im gewöhnlichen Sinne, oder sie sind alle einem quadratisch-imaginären Körper\(\mathfrak{k}\) entnommen, zu dem dann auch die später zu erwähnende ganze Zahlc gehören muß.Google Scholar
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    ——A. a. O. 4c), S. 32–34.Google Scholar
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    Aus dem schon einmal zitierten Satz——a. a. O. 15) ; der Schluß ist ausgeführt in 4c) G. Pólya, Sur les séries entières à coefficients entiers, proceedings of the London Math. Society (2)21 (1922) S. 34.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1928

Authors and Affiliations

  • G. Pólya
    • 1
  1. 1.Zürich

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