Mathematische Annalen

, Volume 99, Issue 1, pp 1–29 | Cite as

Idealtheorie in Quaternionenalgebren

  • H. Brandt
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References

  1. 1).
    Hier kommen namentlich die folgenden Arbeiten in Betracht: I. Zur Komposition der quaternären quadratischen Formen (Dissertation, Straßburg 1912), Journal für reine und angewandte Mathematik143 (1913), S. 106. II. Der Kompositionsbegriff bei den quaternären quadratischen Formen, Math Annalen91 (1924), S. 300. III. Die Hauptklassen in der Kompositionstheorie der quaternären quadratischen Formen, Math. Annalen94 (1925), S. 166. IV. Über die Komponierbarkeit quaternärer quadratischer Formen, Math. Annalen94 (1925), S. 179.Google Scholar
  2. 2).
    Dedekindsche Algebra=Algebra ohne Radikal, in Anlehnung an die Frobeniussche Bezeichnung Dedekindsche Gruppe. Vgl. Frobenius, Theorie der hyperkomplexen Größen, Sitzungsberichte der Berliner Akademie 1903, S. 509.Google Scholar
  3. 3).
    Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes, Math. Annalen96 (1926), S. 360.Google Scholar
  4. 4).
    Über die Resultate dieser Arbeit habe ich bereits am 30. August 1926 in Freiburg (Schweiz) auf der Tagung der Schweizer Mathematischen Gesellschatt vorgetragen. Vgl. Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft 1926, II. Teil, S. 155, oder L'Enseignement Mathématique25 (1926), S. 290.Google Scholar
  5. 5).
    A. Hurwitz, Zahlentheorie der Quaternionen, Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften Göttingen 1896 und Vorlesungen über die Zahlentheorie der Quaternionen. Berlin 1919.Google Scholar
  6. 6).
    Vgl. auch L. E. Dickson, Algebras and their Arithmetics, Chicago 1923, S. 148, oder zweite Auflage in deutscher Sprache, herausgegeben von A. Speiser, Algebren und ihre Zahlentheorie, Zürich 1927, S. 157.Google Scholar
  7. 7).
    In derselben Weise werden die Rechts- und Linksideale auch von Herrn Speiser definiert [Allgemeine Zahlentheorie, Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich71 (1926)=6) Vgl. auch L. E. Dickson, Algebras and their Arithmetics, Chicago 1923, S. 148, zweite Auflage, Kap. XIII], während bei Hurwitz die Bezeichnungen vertauscht sind.Google Scholar
  8. 8).
    Siehe etwa 6), Vgl. auch L. E. Dickson, Algebras and their Arithmetics, Chicago 1923, S. 31, erste AuflageGoogle Scholar
  9. 9).
    Σ bedeutet eine Summation über die Indizes 0, 1, 2, 3. Summationsindizes werden durchi, j, k, feste Indizes durch κ, λ, μ, ν bezeichnet.Google Scholar
  10. 10).
    III, S. 168.Google Scholar
  11. 11).
    Die Richtigkeit der Behauptung ergibt sich leicht direkt durch Ausrechnen daraus, daß die zuO adjungierte SubstitutionO selbst ist. Vgl. auch IV, S. 192.Google Scholar
  12. 12).
    Hurwitz sagt Quaternionenkörper, ich habe selbst diesen Ausdruck in dem unter 4) Vgl. Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft 1926, II. Teil, S. 155, genannten Vortrag gebraucht; doch scheint es mir jetzt zweckmäßiger, den Ausdruck Körper auf Divisionsalgebren mit kommutativer Multiplikation zu beschränken.Google Scholar
  13. 13).
    Die allgemeine von Dedekind stammende Definition der Diskriminante liefert den—16-fachen Wert von unserer Diskriminante. Siehe etwa Speiser a. a. O. 7), [Allgemeine Zahlentheorie, Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich71 (1926), S. 20.Google Scholar
  14. 14).
    I, S. 110 oder II, S. 302.Google Scholar
  15. 15).
    Vgl. II, S. 302.Google Scholar
  16. 16).
    I, S. 118.Google Scholar
  17. 17).
    I, S. 122 und II, S. 309.Google Scholar
  18. 18).
    II, S. 308 oder 309.Google Scholar
  19. 19).
    II, S. 303.Google Scholar
  20. 20).
    D. h. sie sind halb genommene uneigentlich primitive Formen.Google Scholar
  21. 21).
    Dabei heißt eine rationale Zahla durch eine rationale Zahlb teilbar, wenn der Quotienta/b eine ganze Zahl ist.Google Scholar
  22. 22).
    Diese Definition mag vielleicht auf den ersten Blick befremden, doch werden sich bald weitere charakteristische Eigenschaften unserer Ideale ergeben, die einen Zusammenhang mit den üblichen Definitionen eines Ideals in einem algebraischen Zahlkörper herstellen. (Übrigens wird auch in einem algebraischen Zahlkörper ein Modul durch eine ähnliche Forderung, nämlich die Gleichheit von Determinante und Norm als Ideal charakterisiert.)Google Scholar
  23. 23).
    IV, S. 180.Google Scholar
  24. 24).
    L. Euler, Opera omnia, I. Serie,6, S. 309Google Scholar
  25. 25).
    L. Euler, Opera omnia, IV, Serie,6, S. 186 ff.Google Scholar
  26. 26).
    L. Euler, Opera omnia, IV, Serie,6, S. 195.Google Scholar
  27. 27).
    Vgl. hierzu Brandt, Über das assoziative Gesetz bei der Komposition der quaternären quadratischen Formen. Math. Annalen96, (1926), S. 353.Google Scholar
  28. 28).
    II, S. 308 ff.Google Scholar
  29. 29).
    III, S. 171.Google Scholar
  30. 30).
    Die links und rechts zugehörigen Einheitsideale können in Anlehnung an den Dedekindschen Begriff der Ordnung eines Moduls auch als Links- und Rechtsordnung von a aufgefaßt und hergeleitet werden.Google Scholar
  31. 31).
    I, S. 111, oder Bilineare Transformation quadratischer Formen, Math. Zeitschr.20 (1924), S. 153.Google Scholar
  32. 32).
    Sinde 1 unde 2 Einheitsideale, so wird also ein beliebiger Modula durch jede dieser beiden Modulgleichungen als Ideal charakterisiert (vgl. 3).Google Scholar
  33. 33).
    IV, S. 180.Google Scholar
  34. 34).
    IV, S. 192.Google Scholar
  35. 35).
    Die sämtlichenA, welche dasselbeM liefern, ergeben auch dasselbeN und umgekehrt.Google Scholar
  36. 36).
    IV, S. 187.Google Scholar
  37. 37).
    Vgl. F. K. Schmidt, Bemerkungen zum Brandtschen Gruppoid. Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie 1927, 8. Abh, S. 94.Google Scholar
  38. 38).
    Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft 1924, II. Teil, S. 102.Google Scholar
  39. 39).
    Siehe auch III, S. 172 Fußnote.Google Scholar
  40. 40).
    Die §§ 57–67 haben bei der Korrektur im Dezember 1927 eine vollständige Umarbeitung erfahren wegen eines irrtümlichen Diskriminantensatzes in der früheren Darstellung, der mich veranlaßt hatte, meine bereits vor mehreren Jahren auf dem Begriff der Relativkomposition beruhenden Untersuchungen über die Kompositionstafeln der Formenklassen (vgl. meine Vorträge in Nauheim 1920 und Luzern 1924) bei maximalen Ordnungen (Stammformen) für entbehrlich zu halten. Diese Untersuchungen erscheinen hier in den §§ 63–67 in ganz neuer Form, so daß zugleich ihre Verallgemeinerung auf beliebige Dedekindsche Algebren ersichtlich ist. Die §§ 57–62 sind auch mhaltlich neu und aus dem Gedanken entstanden, den Faktorgruppoidbegriff in allgemeinerer Auffassung für die Klassenbildung zu benutzen. Den Hinweis auf das Versehen verdanke ich Herrn Artin, der übrigens in seiner im März 1927 erschienenen, mir aber erst nach Abschluß der Fahnenkorrektur bekannt gewordenen, daher oben nicht berücksichtigten Arbeit “Zur Arithmetik hyperkomplexer Größen”, Hamburger Abhandlungen 1927, S. 282 einen wesentlichen Teil des in der Einleitung genannten allgemeinen Satzes vom Gruppoid der Ideale bewiesen hat.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1928

Authors and Affiliations

  • H. Brandt
    • 1
  1. 1.Aachen

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