Mathematische Annalen

, Volume 87, Issue 1–2, pp 90–111 | Cite as

Tschebyscheffsche Polynome und nichtfortsetzbare Potenzreihen

  • G. Szegö
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Literatur

  1. 1a).
    G. Faber, Über Tschebyscheffsche Polynome [Journal für die reine und angewandte Mathematik150 (1919), S. 79–106]Google Scholar
  2. 1b).
    G. Faber, Potentialtheorie und konforme Abbildung [Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der bayerischen Akademie der Wissenschaften 1920, S. 49–64, vgl. insbes. §3 (S. 55–56)].Google Scholar
  3. 2).
    A. a. O. 1) b)G. Faber, Potentialtheorie und konforme Abbildung [Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der bayerischen Akademie der Wissenschaften 1920, S. 49–64, vgl. insbes. §3 (S. 55–56)].Google Scholar
  4. 3).
    Vgl. a. a. O. 4). Vgl. meine Note: Über Potenzreihen mit endlich vielen verschiedenen Koeffizienten (Sitzungsberichte der preußischen Akademie der Wissenschaften 1922, S. 88–91).Google Scholar
  5. 4).
    Vgl. meine Note: Über Potenzreihen mit endlich vielen verschiedenen Koeffizienten (Sitzungsberichte der preußischen Akademie der Wissenschaften 1922, S. 88–91).Google Scholar
  6. 5).
    Vgl. etwa E. Landau, Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie. Berlin 1916 (J. Springer), S. 73.Google Scholar
  7. 6).
    Im folgenden bezeichnenc 1,c 2,c 3, ... von ν bzw. vonn unabhängige positive Konstanten.Google Scholar
  8. 7).
    Solche Potenzreihen werden in §5 behandelt. Sie sind (wenn man beliebige Koeffizienten zuläßt) weder spezieller, noch allgemeiner, als die Potenzreihen, die der Fabryschen Lückenbedingung (vgl. §3) genügen.Google Scholar
  9. 8).
    Sätze über Potenzreihen [Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik11 (1916), Nr. 12, S. 1–16], S. 3; vgl. auch: Neuer Beweis eines Fatouschen Satzes [Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse 1916, S. 62–65]. Siehe auch a. a. O. 5), Vgl. etwa E. Landau, Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie. Berlin 1916 (J. Springer), S. 66.Google Scholar
  10. 9).
    A. a. O. 4). Vgl. meine Note: Über Potenzreihen mit endlich vielen verschiedenen Koeffizienten (Sitzungsberichte der preußischen Akademie der Wissenschaften 1922, S. 88–91).Google Scholar
  11. 10).
    Diese Formulierung von Satz 3 verdanke ich Herrn G. Pólya, der mir denselben (sogar den allgemeineren, in welchem die Koeffizienten nicht beschränkt zu sein brauchen, den ich leider nicht beweisen konnte) vermutungsweise mitgeteilt hat. Vgl. auch F. Carlson, Über Potenzreihen mit endlich vielen verschiedenen Koeftizienten [Mathematische Annalen79 (1919), S. 237–245], wo über Potenzreihen vom genannten Typus (mit beliebigen Koeffizienten) einige bemerkenswerte Theoreme bewiesen werden.Google Scholar
  12. 11).
    Sur les points singuliers d'une fonction donnée par son développement en série et l'impossibilité du prolongement analytique dans des cas très généraux [Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (3)13 (1896), S. 367–399], S. 381–382; Sur les séries de Taylor qui ont une infinité de points singuliers [Acta Mathematica22 (1899), S. 65–87], S. 86. Vgl. auch F. Carlson und E. Landau, Neuer Beweis und Verallgemeinerungen des Fabryschen Lückensatzes [Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse 1921, S. 184–188], O. Szász, Über Singularitäten von Potenzreihen und Dirichletsche Reihen am Rande des Konvergenzbereiches [Mathematische Annalen85 (1922), S. 99–110].Google Scholar
  13. 12).
    Ist α=m ν+1, so fehlt rechter Hand das erste Glied.Google Scholar
  14. 14).
    F. Carlson, Über Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten [Mathematische Zeitschrift9 (1921), S. 1–13].CrossRefGoogle Scholar
  15. 15).
    Vgl. a. a. O. 14).CrossRefGoogle Scholar
  16. 16).
    Ganzzahlig heißt: von der Forma+bi, wobeia undb ganze rationale Zahlon sind.Google Scholar
  17. 17).
    Der hier mitgeteilte Beweis rührt von mir her.Google Scholar
  18. 18).
    Über die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen [Journal für die reine und angewandte Mathematik107 (1891), s. 278–297]; vgl. auch Gesammelte Abhandlungen1 (1911), S. 243–260.Google Scholar
  19. 19).
    Für den Fall, woC eine geradlinige Strecke ist, vgl. man hierzu: D. Hilbert, Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms [Acta Mathematica18 (1894), S. 155–159].Google Scholar
  20. 20).
    Sitzungsberichte der preußischen' Akademie der Wissenschaften 1921, S. 557 bis 565.Google Scholar
  21. 21).
    Dieser Bereich kann sich auch auf eine Kurve reduzieren. Der Beweis gestaltet sich dann ähnlich, wie im Text.Google Scholar
  22. 22).
    Fortgesetzte Untersuchungen über die Abschnitte von Potenzreihen [Acta-Mathematica41 (1918), S. 253–270]. Vgl. II. Abschnitt, §§ 2, 3.Google Scholar
  23. 23).
    Vgl. Faber a. a. O. Potentialtheorie und konforme Abbildung [Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der bayerischen Akademie der Wissenschaften 1920, S. 49–64, vgl. insbest. § 3 (S. 55–56)].Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1922

Authors and Affiliations

  • G. Szegö
    • 1
  1. 1.Berlin

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