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Mathematische Annalen

, Volume 104, Issue 1, pp 637–665 | Cite as

Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche

  • Heinz Hopf
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Literaturnachweis

  1. 1).
    L. E. J. Brouwer, Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen71 (1911), S. 97–115.— H. Hopf, Abbildungsklassenn-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen96 (1926), S. 209–224.Google Scholar
  2. 2).
    Zyklus=geschlossener, d. h. unberandeter Komplex.Google Scholar
  3. 3).
    L. E. J. Brouwer, On Looping Coefficients, Proc. Acad. Amsterdam15 (1912), S. 113–122.Google Scholar
  4. 4).
    Zur Einführung in die kombinatorische oder algebraische Topologie sei empfohlen: J. W. Alexander, Combinatorial Analysis Situs, Transact. Amer. Math. Soc.28 (1926), S. 301–329.Google Scholar
  5. 5).
    Über wesentliche und unwesentliche Abbildungen von Komplexen, Moskauer Mathematische Sammlung (z. Z. im Druck).Google Scholar
  6. 6).
    Bezüglich der Umkehrungsabbildung ϕ vergleiche man auch den § 3 meiner Arbeit: „Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten”, Journal f. d. reine u. angew. Math. (Crelle)163 (1930), S. 71–88.Google Scholar
  7. 7).
    Man verifiziert diese Behauptung erst für ein einzelnes Simplex und beweist sie dann allgemein durch Addition mehrerer Simplexe.Google Scholar
  8. 9).
    Siehe Nr. 5 und 6 der unter 4) zitierten Arbeit von Alexander.Google Scholar
  9. 11).
    Dieser Beweis ist dem Beweis der topologischen Invarianz des Abbildungsgrades analog: L. E. J. Brouwer, Über Jordansche Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen71, (1911), S. 320–327.Google Scholar
  10. 12).
    Diese Betrachtung, und somit der Beweis von IIc, ist die einzige Stelle in dieser Arbeit, an der benutzt wird, daßS 2 die Kugel und nicht eine beliebige orientierbare Fläche ist.Google Scholar
  11. 13).
    Das System dieser Großkreise, die die Originalmengen der Punkte vonS 2 bilden, ist eine Cliffordsche Parallelenkongruenz; hierzu vgl. man F. Klein, Vorlesungen über Nichteuklidische Geometrie (Berlin 1928), S. 234; daß dort anstatt derS 3 der elliptische Raum betrachtet wird, macht keinen wesentlichen Unterschied.Google Scholar
  12. 14).
    Einen Beweis dieser Tatsache (die übrigens ein Spezialfall von Satz IV ist), findet man in meiner unter 1). zitierten Arbeit.Google Scholar
  13. 15).
    Eine Darstellung der einfachsten topologischen Eigenschaften vonA 4 findet man im „Anhang II” der unter 8), zitierten Arbeit von van der Waerden.Google Scholar
  14. 16).
    § 5 der unter 6) „Zur Algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten”, Journal f. d. reine u. angew. Math. (Crelle)163 (1930), S. 71–88. zitierten Arbeit.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1931

Authors and Affiliations

  • Heinz Hopf
    • 1
  1. 1.Zürich

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