Über summierbare trigonometrische Reihen

Cantor, Beweis, daß eine für jeden reellen Wert vonx durch einetrigonometrische Reihe gegebene Funktionf(x) sich nur auf eine einzige Weise in dieser Form darstellen läßt, J. f. Math. 72 (1870); Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, Math. Ann. 5 (1872).Google Scholar

Riemann, Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe, Gesammelte Werke (1892), S. 227.Google Scholar

Cantor, Über einen die trigonometrischen Reihen betreffenden Lehrsatz, J. f. Math. 72. Einen viel einfacheren Beweis gibt er in der Arbeit: Über trigonometrische Reihen, Math. Ann. 4 (1871). Kürzlich hat Osgood einen sehr einfachen Beweis gegeben: On Cantor's theorem concerning the coefficients of a convergent trigonometric series with generalizations, Amer. Math. Soc. Trans. 10. Für den Beweis vgl. auch Lebesgue, Leçons sur les séries trigonométriques, S. 110–111. Canter teilt in seiner Notiz zu dem Aufsatze „Beweis, daß eine etc.” J. f. Math. 73 (1871), eine mündliche Bemerkung von Kronecker mit, die sehr einfach zeigt, daß das Lemma bei dem Beweise des Eindentigkeitssatzes entbehrt werden kann. Wie leicht ersichtlich, ist das auch in unseren Untersuchungen der Fall. Wir werden dennoch das Cantorsche Lemma benutzen, denn durch seine Anwendung sieht man am natürlichsten, welchen Einschränkungen die Koeffiizienten der summierbaren trigonometrischen Reihen unterliegen.Google Scholar

Du Bois-Reymond, Abh. d. bayer. Akad. 12 (1875).Google Scholar

Lebesgue, Sur les séries trigonométriques”, Ann. éc. norm. 1903. Vgl. auch für all diese Fragen sein vorzügliches Werk: Leçons sur les séries trigonométriques Paris, Gauthier-Villars 1906, S. 110 u. ff.Google Scholar

Hölder, Zur Theorie der trigonometrischen Reihen, Math. Ann. 24, S. 183.Google Scholar

Fejér, Untersuchungen über Fouriersche Reihen, Math. Ann. 58, S. 63.Google Scholar

Fejér, Untersuchungen über Fouriersche Reihen, Math. Ann. 58, l. e. S. 68–69. In der Fejérschen Fassung steht stat (6) eine leichtere Einschränkung der Koeffizienten, wir gebrauchen aber den Satz nur in obigem Umfange.Google Scholar

Leçons sur les séries trigonométriques, S. 68. Vgl. für alle diese Bemerkungen Fatou, Séries trigonométriques et séries de Taylor (Thèse), Acta Math. 30, S. 336–337.Google Scholar

Leçons sur les séries trig. S. 12 und 123.Google Scholar

S. 60–61 des Lebesgueschen Werkes findet man die Verallgemeinerung dieses Riemannschen Satzes auf Funktionen, die im Lebesgueschen Sinne integrierbar sind.Google Scholar

Cesàro, Sur la multiplication des séries, Bull. Sc. Math. 14 (1890).Google Scholar

So viel ich weiß, wurden arithmetische Mittel nicht ganzer Ordnungszahl zuerst von Hadamard in Betracht gezogen: Essai sur l'étude des fonctions données par leur développment de Taylor (Thèse), J. de math. (1892) S. 182.Google Scholar

Knopp, Grenzwerte von Reihen bei der Annäherung an die Konvergenzgrenze (Inauguraldissertation), Berlin 1907. In dieser Arbeit werden eine Reihe wichtiger Sätze über arithmetische Mittel beliebiger Ordnungszahl dargelegt.Google Scholar

Sur les séries de Dirichlet (Théorème I), Paris C. R, 21 juin 1909.Google Scholar