Mathematische Annalen

, Volume 106, Issue 1, pp 249–294 | Cite as

Beiträge zur Theorie der Zerlegungsräume

  • Georg Aumann
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References

  1. 1).
    Topologischer Raum = Umgebungsraum, vgl. F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 213.Google Scholar
  2. 2).
    Siehe Enzykl. III Art. AB 13, H. Tietze und L. Vietoris, S. 156.Google Scholar
  3. 4).
    Über stetige Abbildung kompakter Räume, Math. Annalen96 (1926), S. 555.Google Scholar
  4. 5).
    Sur les décompositions semi-continues d'espaces metriques compacts, Fund. Math.11 (1928), S. 169. Kuratowski definiert den Zerlegungsraum alsLimesraum (siehe Fréchet, Rend. circ. mat. Palermo22 (1904)).Google Scholar
  5. 6).
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    H. Tietze, Beiträge zur allgemeinen Topologie I, Math. Annalen88 (1923), S. 295.Google Scholar
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  8. 9).
    Siehe „stetige Zerlegung” bei Alexandroff (siehe Fußnote 4) Über stetige Abbildung kompakter Räume, Math. Annalen96 (1926), S. 555), “décomposition continue” bei Kuratowski (siehe FußnoteLimesraum (siehe Fréchet, Rend. circ. mat. Palermo22 (1904)).Google Scholar
  9. 10).
    Siehe Fußnote Enzykl. III Art. AB 13, H. Tietze und L. Vietoris, S. 180, 189.Google Scholar
  10. 11).
    , S. 52, die dort genannten Bedingungen erster Art; siehe Fußnote Enzykl. III Art. AB 13, H. Tietze und L. Vietoris, S. 181, 190.Google Scholar
  11. 12).
    , S. 295. oder Fußnote Enzykl. III Art. AB 13, H. Tietze und L. Vietoris, Ich halte mich an die Umgebungsaxiome, wie sie H. Tietze eingeführt hat, die hinsichtlich der Abgrenzung des Begriffs topologischer Raum mit den Hausdorffschen Axiomen völlig gleichwertig sind.Google Scholar
  12. 14).
    Die Umgebungen im Hausdorffschen Sinne (siehe Fußnote Topologischer Raum = Umgebungsraum, vgl. F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 213.)) bestehen aus lauter inneren Punkten. Diese Eigenschaft wird von den durch die oben angeführten Axiome definierten Umgebungen nicht gefordert (vgl. Axiom (C) bei L. Vietoris, Stetige Mengen, Monatsch. f. M. u. Ph.31 (1921), S. 173); für die folgenden Untersuchungen bedeutet das eine große Bequemlichkeit.Google Scholar
  13. 15).
  14. 16).
    C. Kuratowski nennt sie “tranches”, siehe Fußnote Sur les décompositions semi-continues d'espaces metriques compacts, Fund. Math.11 (1928), S. 171.Google Scholar
  15. 20).
    Siehe Fußnote Über stetige Abbildung kompakter Räume, Math. Annalen96 (1926), S. 556.Google Scholar
  16. 22).
    Ich verwendete das Zeichen Σ bei der Bildung der Vereinigungsmenge ohne zu unterscheiden, ob die Mengen, über welche summiert wird, punktfremd sind oder nicht. Das von G. Peano eingeführte Zeichen ω ist zu lesen: “Punkt(Element) von”..Google Scholar
  17. 24).
    Ein solches System hat auch die sonst (siehe Fußnote Topologischer Raum = Umgebungsraum, vgl. F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 15) von einem Mengenkörper verlangten Eigenschaften.Google Scholar
  18. 25).
    Mit Δ bezeichne ich die Durchschnittsbildung.Google Scholar
  19. 26).
    Siehe F. Hausdorff, Mengenlehre (1927), S. 110.Google Scholar
  20. 27).
    F. Hausdorff spricht von “dual”, siehe Fußnote Topologischer Raum = Umgebungsraum, vgl. F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 8, 228.Google Scholar
  21. 30).
    Siehe das Beispiel von H. Tietze, S. 302.Google Scholar
  22. 33).
    Das Axiom (D3) findet sich zuerst bei H. Tietze,, S. 301. Der Name “normal” stammt von Alexandroff und Urysohn, Math. Annalen92 (1924), S. 263.Google Scholar
  23. 36).
    In sachlicher Übereinstimmung mit Alexandroff (siehe14).Google Scholar
  24. 37).
    Diese Bezeichnung werde ich auch späterhin für Systeme von Mengen (oder anderen Dingen) benützen.Google Scholar
  25. 39).
    Als Axiom steht (D3) im wesentlichen zuerst bei L. Vietoris, ; die Bezeichnung “regulär” ist von Alexandroff und Urysohn, siehe Fußnote 33) H. Tietze, Beiträge zur allgemeinen Topologie I, Math. Annalen88 (1923), S. 295.Google Scholar
  26. 40).
    Eine Abbildung heißt nach L. E. J. Brouwer topologisch, wenn sie 1. umkehrbar eindeutig (1-1-deutig) und 2. umkehrbar stetig ist.Google Scholar
  27. 43).
  28. 45).
    Zwei Räume heißen nach H. Poincaré zueinander homöomorph, wenn der eine vermöge einer topologischen Abbildung auf den anderen abgebildet werden kann.Google Scholar
  29. 47).
    Siehe 4) Über stetige Abbildung kompakter Räume, Math. Annalen96 (1926), S. 555, S. 557 bzw. 559 die Sātze I und II.Google Scholar
  30. 48).
    Siehe für (F) Fußnote 1) topologischer Raum = Umgebungsraum, vgl. F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 213, S. 230, für (D4) Fußnote 7) H. Tietze, Beiträge zur allgemeinen topologie I, Math. Annalen88 (1923), S. 295, S. 310.Google Scholar
  31. 51).
    Ein Raum ℜ heißt nach P. Alexandroff und P. Urysohn (Math. Annalen 92 (1924), S. 259, 260)Bikompakt (nach L. Vietoris, Mon.-Hefte f. M. u. Ph.31 (1921), S. 187, “lückenlos”), falls er die Eigenschaft hat, daß allemal, wenn die Vereinigungsmenge eines Systems von offenen Mengen aus ℜ den Raum ℜ enthält, er bereits in der Vereiningungsmenge von endlich vielen Mengen dieses Systems enthalten ist.Google Scholar
  32. 52).
    Jede abgeschlossene Teilmenge eines bikompakten Raumes ist bikompakt.Google Scholar
  33. 53).
    Siehe Alexandroff und Urysohn,, S. 263.Google Scholar
  34. 54).
    Vgl. P. Alexandroff,, S. 562.Google Scholar
  35. 55).
    Ist in einem bikompakten Raum ℜ der Durchschnitt von je endlich vielen Mengen eines Systems von in ℜ abgeschlossenen Mengen nicht leer, so ist stets auch der Durchschnitt aller Mengen des Systems von Null verschieden. Diese Eigenschaft folgt aus der Definition des bikompakten Raumes durch Übergang zum komplementären System; sie könnte ebenfalls als Definition dienen.Google Scholar
  36. 56).
    Ein Raum ist bikompakt im Kleinen, wenn es zu jedem Punkt eine bikompakte Umgebung gibt (siehe P. Alexandroff, Math. Annalen92 (1924), S. 294).Google Scholar
  37. 57).
    Siehe Fußnote 4) Über stetige Abbildung kompakteer Räume, Math. Annalen96 (1926), S. 555, S. 557.Google Scholar
  38. 58).
    oder einen Raum, der die Axiome (A), (B), (C) und (D0) erfüllt.Google Scholar
  39. 59).
    . C. Kuratowski (siehe Fußnote 5))Limesraum (siehe Fréchet, Rend. circ. mat. Palermo22 (1904)). sagt; “semi-continue”.Google Scholar
  40. 60).
    Nach Satz 10 ist dann die Zerlengung zugleich stetig. In Beispiel 2 hat man eine oberhalb-stetige, nicht topologische Zerlegung.Google Scholar
  41. 61).
    , S. 174): “continue”.Limesraum (siehe Fréchet, Rend. circ. mat. Palermo22 (1904)), S. 174): “continue”.Google Scholar
  42. 77).
    Um nämlich über die Zusammensetzung vong-stetigen Zerlegungen zu einer topologischen Zerlegung etwas aussagen zu können, wären eingehendere Voruntersuchungen über Schrumpfbereicheigenschaften vong-stetigen Zerlegungen notwendig, für die hier nicht der Platz ist.Google Scholar
  43. 78).
    Der zu beweisende Satz ist hinsichtlich stetiger Zerlegungen eine Verallgemeinerung von Satz 16; jedoch ist hier ein Beweis durch den Schluß vonn aufn+1 nicht möglich, da es bereits bei einem aus drei Zerlegungen bestehenden, vexträglichen System vorkommen kann, daß die aus je zwei von diesen Zerlegungen zusammengesetzte Zerlegung mit der dritten nicht verträglich ist.Google Scholar
  44. 79).
    Siehe das Beispiel von Fußnote 87) Enzykl. III Art. AB 13, H. Tietze und L. Vietoris,Google Scholar
  45. 81).
    Siehe Fußnote 10) Enzykl. III Art. AB 13, H. Tietze und L. Vietoris.Google Scholar
  46. 82).
    Siehe Fußnote 2) Enzykl. III Art. AB 13, H. Tietze und L. Vietoris, S. 180.Google Scholar
  47. 84).
    Siehe Fußnote 82) Enzykl. III Art. AB 13, H. Tietze und L. Vietoris.Google Scholar
  48. 86).
    Diese drei Bedingungen sind bei endlichem l von selbst erfüllt.Google Scholar
  49. 89).
    Bei solchen Zellaufbauten ist die Bedingung A 4) von Fußnote 2) Enzykl. III Art. AB 13, H. Tietze und L. Vietoris, S. 188 nicht mehr erfüllt; siehe auch Fußnote 2), S. 190, Fußnote 135).Google Scholar

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© Springer-Verlag 1932

Authors and Affiliations

  • Georg Aumann
    • 1
  1. 1.München

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