Neuer Beweis für die explizite Reziprozitätsformel derl-ten Potenzreste iml-ten Kreiskörper

Diese Formel ist von Hasse in den folgenden Abhandlungen bewiesen: “Über das allgemeine Reziprozitätsgesetz derl-ten Potenzreste im Körperk _ζ derl-ten Einheitswurzeln und in Oberkörpern vonk _ζ”, Journ. f. Math.154 (1925). “Zum expliziten Reziprozitätsgesetz”, Abh. Math. Sem. Hamburg7 (1930).Google Scholar

Die Einführung der Kummerschen logarithmischen Differentialquotienten und eine mit ihnen gebildete explizite Formel ist in der Abhandlung von Kummer gegeben: “Allgemeine Reziprozitätsgesetze für beliebig hohe Potenzreste”, Berl. Akad. Berichte 1850; zusammenfassend ist über die Beweise zum Reziprozitätsgesetz referiert in Hasse: “Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper”; Teil II, Reziprozitätsgesetz, Jahresber. d. Math.-Ver., Ergänzungsband VI (1930), § 20 (im folgenden zitiert mit “Ber. II”).Google Scholar

K. Hensel und H. Hasse: “Über die Normenreste eines relativ-zyklischen Körpers vom Primzahlgradl nach einem Primteiler vonl”, Math. Annalen90 (1923) (im folgenden zitiert mit “N.R.”).Google Scholar

Grundlegend für diese Betrachtungsweise sind die folgenden Arbeiten von Hensel: “Eine neue Theorie der algebraischen Zahlen”, Math. Zeitschr.2 (1918). “Die Exponentialdarstellung der Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers für den Bereich eines Primdivisors”, H. A. Schwarz-Festschrift, Berlin 1914. “Die multiplikative Darstellung der algebraischen Zahlen für den Bereich eines Primteilers” Journ. f. Math.146 (1916).Google Scholar

D. Hilbert, “Die Theorie der algebraischen Zahlkörper”, Jahresber. D. Math.-Ver.4 (1897), Teil 5.Google Scholar

H. Hasse, “Zur Theorie des Hilbertschen Normenrestsymbols in algebraischen Zahlkörpern”, Journ. f. Math.153 (1924). “Direkter Beweis des Zerlegungs- und Vertauschungsgesetzes für das Hilbertsche Normenrestsymbol in einem algebraischen Zahlkörper im Falle eines Primteilers I des Relativgradesl″ Journ. f. Math.154 (1925).Google Scholar

Der in N. R. auftretende dritte Fall α=λ fällt hier fort, da der Umkehrfaktor nur für Werte von α und β definiert ist, die prim zu λ sind.Google Scholar

Teiji Takagi, “Zur Theorie des Kreiskörpers”, Journ. f. Math.157 (1926), S. 231.Google Scholar